Tanti tanti pianeti che si schiantano...in quanto tempo?

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memedesimo
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Tanti tanti pianeti che si schiantano...in quanto tempo?

Messaggio da memedesimo » 26 mar 2008, 20:13

Tre pianeti si trovano ai vertici di un triangolo equilatero di lato $ L $, fermi. I pianeti cominciano ad essere attratti l'uno verso l'altro a causa dell'attrazione gravitazionale. I pianeti hanno massa $ M $ e raggio $ R $.

Calcolare:

1) La velocità dei pianeti al momento in cui impattano

2) Il tempo che ci impiegano a impattare

Domande bonus: se i pianeti fossero stati 4, disposti su un quadrato, quanto sarebbe stato il tempo di impatto? E se i pianeti fossero stati 5? e se fossero stati N? cosa succede nel limite in cui N tende a infinito? (fare i due casi in cui rimane costante la massa TOTALE dei pianeti e quello in cui rimane costante la massa di ogni pianeta)

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EUCLA
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Messaggio da EUCLA » 26 mar 2008, 22:11

Allora chiamo:
$ D $ il baricentro del triangolo e $ x $ la distanza che percorrono i pianeti prima dell'impatto.

Osserviamo inizialmente la situazione limite in cui i 3 pianeti già si tangono (tangiscono? :shock: ). In quel caso $ L=2R $.
La distanza di un vertice dal baricentro del triangolo corrispondente a tale configurazione è $ \displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}R $.
Detto questo passiamo ad una situazione più generale.

Prendiamo in considerazione il pianeta A e consideriamone la forza che agisce tra lui e quello alla sua sinistra: $ F=\displaystyle G\frac{M^2}{L^2} $.
Se considero le componenti delle forze (tra A e il pianeta di destra e tra A e il pianeta di sinistra) noto che rimane solo la componente $ F_d $ orientata verso il baricentro del triangolo: $ F_d=\displaystyle \frac{2F}{\cos30} $
Allora da Newton $ a=\displaystyle \frac{2GM}{(\cos30)L^2}=\frac{4GM}{L^2\sqrt{3}} $.

Nel nostro caso del triangolo, i pianeti dovranno quindi schiantarsi a distanza $ x= AD - \displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}R \rightarrow x=\displaystyle L\frac{\sqrt{3}}{3}-\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}R= \frac{\sqrt{3}}{3}(L-2R) $.
Sapendo che $ x=\displaystyle \frac{1}{2}at^2 \rightarrow t^2=\frac{L^2(L-2R)}{2GM}\rightarrow $ $ \boxed{t=L\sqrt{\frac{L-2R}{2GM}}} $

A questo punto $ \displaystyle v=at \rightarrow \boxed{v=\frac{1}{L}\sqrt{\frac{8GM(L-2R)}{3}}} $

Spero che questa roba sia giusta :D .
In realtà mi ero inizialmente illusa di esser sulla strada per risolvere il bonus di N, ma mi prendo un pò più di tempo :roll:

Stex19
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Messaggio da Stex19 » 26 mar 2008, 23:21

EUCLA ha scritto:Allora chiamo:
$ D $ il baricentro del triangolo e $ x $ la distanza che percorrono i pianeti prima dell'impatto.

Osserviamo inizialmente la situazione limite in cui i 3 pianeti già si tangono (tangiscono? :shock: ). In quel caso $ L=2R $.
La distanza di un vertice dal baricentro del triangolo corrispondente a tale configurazione è $ \displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}R $.
Detto questo passiamo ad una situazione più generale.

Prendiamo in considerazione il pianeta A e consideriamone la forza che agisce tra lui e quello alla sua sinistra: $ F=\displaystyle G\frac{M^2}{L^2} $.
Se considero le componenti delle forze (tra A e il pianeta di destra e tra A e il pianeta di sinistra) noto che rimane solo la componente $ F_d $ orientata verso il baricentro del triangolo: $ F_d=\displaystyle \frac{2F}{\cos30} $
Allora da Newton $ a=\displaystyle \frac{2GM}{(\cos30)L^2}=\frac{4GM}{L^2\sqrt{3}} $.

Nel nostro caso del triangolo, i pianeti dovranno quindi schiantarsi a distanza $ x= AD - \displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}R \rightarrow x=\displaystyle L\frac{\sqrt{3}}{3}-\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}R= \frac{\sqrt{3}}{3}(L-2R) $.
Sapendo che $ x=\displaystyle \frac{1}{2}at^2 \rightarrow t^2=\frac{L^2(L-2R)}{2GM}\rightarrow $ $ \boxed{t=L\sqrt{\frac{L-2R}{2GM}}} $

A questo punto $ \displaystyle v=at \rightarrow \boxed{v=\frac{1}{L}\sqrt{\frac{8GM(L-2R)}{3}}} $

Spero che questa roba sia giusta :D .
In realtà mi ero inizialmente illusa di esser sulla strada per risolvere il bonus di N, ma mi prendo un pò più di tempo :roll:
dovrebbe essere giusto... :)

per 4 pianeti mi vengono così:

$ t=2L\sqrt{\frac{\sqrt{2}(\frac{L}{2}-R)}{GM(1+4\sqrt{2})}} $

$ v=\frac{1}{L}\sqrt{\sqrt{2}GM(1+4\sqrt{2})(\frac{L}{2}-R)} $

memedesimo
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Messaggio da memedesimo » 27 mar 2008, 09:47

Purtroppo queste soluzioni sono sbagliate, perchè il moto dei pianeti non è uniformemente accelerato (l'accelerazione cambia in funzione di L, il lato del triangolo, il quale che man mano che passa il tempo diventa sempre più piccolo).
Ti puoi accorgere che il tuo risultato sulla velocità è sbagliato facendo il limite per $ R $ che tende a zero. Poichè l'energia potenziale dovrebbe andare a meno infinito (perchè va come $ -1/R $) l'energia cinetica dovrebbe andare a infinito e quindi anche la velocità.

Potrebbe avervi confuso il fatto che ho dimenticato di specificare che mentre la velocità la potete calcolare per qualsiasi valore di $ L $ ed $ R $, per il tempo conviene supporre $ R<<L $, altrimenti i contazzi sono troppo brutti.

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mitchan88
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Messaggio da mitchan88 » 27 mar 2008, 15:01

Mmm l'ho già visto sto esercizio... :D
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Faust
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Messaggio da Faust » 27 mar 2008, 16:14

Premetto che non ho ancora imparato ad usare Latex e me ne scuso :oops: ...
Dunque: io uguaglio la variazione di energia potenziale del sistema di tre corpi a quella di energia cinetica. L'energia potenziale complessiva è uguale a tre volte quella tra due corpi. Ciascuno dei corpi ha alla fine uguale energia cinetica per ragioni di simmetria.
Faccio un pò di conti e mi viene per la velocità finale al momento di contatto:
sqrt (GM*(L-4R)/(R*(L-2R)))
Ich bin der geist, der stets ferneint!

memedesimo
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Messaggio da memedesimo » 27 mar 2008, 19:42

Dici Mitchan? :D

Comunque per la velocità il procedimento è giusto! Adesso pensate al tempo...pensate a modi truccosi :wink:

memedesimo
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Messaggio da memedesimo » 01 apr 2008, 22:44

Hint:
La forza dipende dall'inverso del quadrato della distanza dal centro del triangolo (per un opportuno coefficente).
Dunque per quanto riguarda le forze è come se ci fosse una massa in mezzo $ M $, da calcolare.
Il problema è allora analogo a trovare quanto ci mette un pianeta a schiantarsi su di un altro, partendo da fermo (è un vecchio SNS che sta anche in questo forum) per cui si può usare il trucco di considerare la traiettoria un'ellisse degenere e usare la terza legge di Keplero...

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pi
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Messaggio da pi » 02 apr 2008, 14:41

@ memedesimo : perchè la massa al centro è M ? in base a cosa hai scelto la sua massa?? :oops:

Ciao a tutti e grazie!!!
(no comment)

Riccardo_ct
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Messaggio da Riccardo_ct » 02 apr 2008, 19:10

Se abbiamo due corpi rispettivamente di massa M e m dove M è molto o infinitamente maggiore di m, quindi $ M>>m $ , si dimostra applicando la terza legge di keplero ad una ellisse degenere ($ e=1 $) che il tempo impiegato da $ m $ per scontrarsi su $ M $ (considerando i corpi puntiformi) partendo da fermo è $ t=\frac{T}{4\sqrt{2}} $
Se i corpi uguali di massa m sono 3 e disposti ai vertici di un triangolo equilatero di lato l la distanza iniziale tra uno di questi e il centro di massa è
$ d=\frac{\sqrt{3}}{3}l $
Poichè nel centro di massa si immagina concentrata l'intera massa del sistema allora $ M_{cm}=3m $
Il periodo di uno di questi 3 corpi attorno al centro di massa allora dovrebbe essere

$ T=\sqrt{\frac{\pi^2l^3\sqrt{3}}{3GM}} $

Sostituendo questo alla prima relazione si dovrebbe ottenere il tempo di collisione...

memedesimo
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Messaggio da memedesimo » 02 apr 2008, 20:44

A me il periodo con cui dovrebbero ruotare per stare sempre nella forma di triangolo viene$ T=\sqrt{\frac{4\pi^2l^3}{3GM}} $, non credo che tu possa considerare la massa concentrata tutta nel centro per quanto riguarda l'attrazione gravitazionale. Forse dicendo della massa "finta" $ M $ vi ho confuso le idee...con $ M $ intendevo dire che è la massa che risponde a questa domanda: Se io togliessi due pianeti e ne lasciassi solo 1, quale massa dovrei mettere nel centro del triangolo affinchè il pianeta che è rimasto non si accorga di niente? (cioè le forze che agiscono su di lui rimangono uguali?) In altre parole, quale massa messa al centro del triangolo produce gli stessi effetti degli altri due pianeti?

memedesimo
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Messaggio da memedesimo » 02 apr 2008, 20:44

A me il periodo con cui dovrebbero ruotare per stare sempre nella forma di triangolo viene$ T=\sqrt{\frac{4\pi^2l^3}{3GM}} $, non credo che tu possa considerare la massa concentrata tutta nel centro per quanto riguarda l'attrazione gravitazionale. Forse dicendo della massa "finta" $ M $ vi ho confuso le idee...con $ M $ intendevo dire che è la massa che risponde a questa domanda: Se io togliessi due pianeti e ne lasciassi solo 1, quale massa dovrei mettere nel centro del triangolo affinchè il pianeta che è rimasto non si accorga di niente? (cioè le forze che agiscono su di lui rimangono uguali?) In altre parole, quale massa messa al centro del triangolo produrrebbe gli stessi effetti degli altri due pianeti?

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Messaggio da memedesimo » 02 apr 2008, 20:45

A me il periodo con cui dovrebbero ruotare per stare sempre nella forma di triangolo viene$ T=\sqrt{\frac{4\pi^2l^3}{3GM}} $, non credo che tu possa considerare la massa concentrata tutta nel centro per quanto riguarda l'attrazione gravitazionale. Forse dicendo della massa "finta" $ M $ vi ho confuso le idee perchè per sbaglio ho usato la stessa lettera che per le masse dei pianeti...con $ M $ intendevo dire che è la massa che risponde a questa domanda: Se io togliessi due pianeti e ne lasciassi solo 1, quale massa dovrei mettere nel centro del triangolo affinchè il pianeta che è rimasto non si accorga di niente? (cioè le forze che agiscono su di lui rimangono uguali?) In altre parole, quale massa messa al centro del triangolo produrrebbe gli stessi effetti degli altri due pianeti?

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Messaggio da memedesimo » 02 apr 2008, 20:45

A me il periodo con cui dovrebbero ruotare per stare sempre nella forma di triangolo viene$ T=\sqrt{\frac{4\pi^2l^3}{3GM}} $, non credo che tu possa considerare la massa concentrata tutta nel centro per quanto riguarda l'attrazione gravitazionale. Forse dicendo della massa "finta" $ M $ vi ho confuso le idee perchè per sbaglio ho usato la stessa lettera che per le masse dei pianeti...con $ M $ intendevo dire che è la massa che risponde a questa domanda: Se io togliessi due pianeti e ne lasciassi solo 1, quale massa dovrei mettere nel centro del triangolo affinchè il pianeta che è rimasto non si accorga di niente? (cioè le forze che agiscono su di lui rimangono uguali?) In altre parole, quale massa messa al centro del triangolo produrrebbe gli stessi effetti degli altri due pianeti?

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Messaggio da memedesimo » 02 apr 2008, 20:47

A me il periodo con cui dovrebbero ruotare per stare sempre nella forma di triangolo viene$ T=\sqrt{\frac{4\pi^2l^3}{3GM}} $, non credo che tu possa considerare la massa concentrata tutta nel centro per quanto riguarda l'attrazione gravitazionale. Forse dicendo della massa "finta" $ M $ vi ho confuso le idee perchè per sbaglio ho usato la stessa lettera che per le masse dei pianeti...con $ M $ intendevo dire che è la massa che risponde a questa domanda: Se io togliessi due pianeti e ne lasciassi solo 1, quale massa dovrei mettere nel centro del triangolo affinchè il pianeta che è rimasto non si accorga di niente? (cioè le forze che agiscono su di lui rimangono uguali?) In altre parole, quale massa messa al centro del triangolo produrrebbe gli stessi effetti degli altri due pianeti?

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