Momenti d'inerzia di...Frattali!?
Inviato: 23 mar 2008, 20:37
Si calcoli il momento di inerzia passante per il centro di massa di:
1) un foglio quadrato di massa $ M $
2) Un insieme di Cantor di massa $ M $(cioè tale che dopo un infinito numero di iterazioni quello che rimane ha massa $ M $, il che implica densità infinita, ma non importa)
Per chi non sapesse cos'è l'insieme di Cantor:
http://it.wikipedia.org/wiki/Insieme_di_Cantor
Per fare questi problemi è conveniente usare il seguente trucco. Supponiamo di voler calcolare il momento di inerzia di una sbarretta di lunghezza $ L $ e massa $ M $, rispetto al suo centro, che è anche il suo centro di massa. Supponiamo inoltre (come è sempre vero se ci pensate) che il suo momento di inerzia sia della forma $ \alpha ML^2 $ dove $ \alpha $ è una costante numerica da determinare. Se vi mettete nel centro di massa della sbarretta, il suo momento di inerzia sarà allora $ \alpha ML^2 $ (Equazione 1). Ma sempre rimanendo nel centro di massa, voi potete vedere la sbarretta come unione di due sbarrette lunghe la metà i cui centri si trovano a distanza $ L/4 $ da dove vi trovavate prima. Per il teorema di Steiner il momento di ciascuna di queste due mezze sbarrette, ciascuna di massa $ M/2 $, sarà $ \alpha ML^2/8 + ML^2/16 $ (Equazione 2). Dunque potete scrivere (Equazione1)=2(Equazione2), ricavando così che $ \alpha=1/12 $, senza fare alcun integrale, ma solo sfruttando questo trucco che funziona quando ci sono oggetti con particolari simmetrie.
Spero di aver scritto in modo comprensibile anche se sono un po' di fretta, comunque se avete dubbi chiedete!
1) un foglio quadrato di massa $ M $
2) Un insieme di Cantor di massa $ M $(cioè tale che dopo un infinito numero di iterazioni quello che rimane ha massa $ M $, il che implica densità infinita, ma non importa)
Per chi non sapesse cos'è l'insieme di Cantor:
http://it.wikipedia.org/wiki/Insieme_di_Cantor
Per fare questi problemi è conveniente usare il seguente trucco. Supponiamo di voler calcolare il momento di inerzia di una sbarretta di lunghezza $ L $ e massa $ M $, rispetto al suo centro, che è anche il suo centro di massa. Supponiamo inoltre (come è sempre vero se ci pensate) che il suo momento di inerzia sia della forma $ \alpha ML^2 $ dove $ \alpha $ è una costante numerica da determinare. Se vi mettete nel centro di massa della sbarretta, il suo momento di inerzia sarà allora $ \alpha ML^2 $ (Equazione 1). Ma sempre rimanendo nel centro di massa, voi potete vedere la sbarretta come unione di due sbarrette lunghe la metà i cui centri si trovano a distanza $ L/4 $ da dove vi trovavate prima. Per il teorema di Steiner il momento di ciascuna di queste due mezze sbarrette, ciascuna di massa $ M/2 $, sarà $ \alpha ML^2/8 + ML^2/16 $ (Equazione 2). Dunque potete scrivere (Equazione1)=2(Equazione2), ricavando così che $ \alpha=1/12 $, senza fare alcun integrale, ma solo sfruttando questo trucco che funziona quando ci sono oggetti con particolari simmetrie.
Spero di aver scritto in modo comprensibile anche se sono un po' di fretta, comunque se avete dubbi chiedete!