Momenti d'inerzia di...Frattali!?

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memedesimo
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Momenti d'inerzia di...Frattali!?

Messaggio da memedesimo » 23 mar 2008, 20:37

Si calcoli il momento di inerzia passante per il centro di massa di:

1) un foglio quadrato di massa $ M $

2) Un insieme di Cantor di massa $ M $(cioè tale che dopo un infinito numero di iterazioni quello che rimane ha massa $ M $, il che implica densità infinita, ma non importa)

Per chi non sapesse cos'è l'insieme di Cantor:

http://it.wikipedia.org/wiki/Insieme_di_Cantor


Per fare questi problemi è conveniente usare il seguente trucco. Supponiamo di voler calcolare il momento di inerzia di una sbarretta di lunghezza $ L $ e massa $ M $, rispetto al suo centro, che è anche il suo centro di massa. Supponiamo inoltre (come è sempre vero se ci pensate) che il suo momento di inerzia sia della forma $ \alpha ML^2 $ dove $ \alpha $ è una costante numerica da determinare. Se vi mettete nel centro di massa della sbarretta, il suo momento di inerzia sarà allora $ \alpha ML^2 $ (Equazione 1). Ma sempre rimanendo nel centro di massa, voi potete vedere la sbarretta come unione di due sbarrette lunghe la metà i cui centri si trovano a distanza $ L/4 $ da dove vi trovavate prima. Per il teorema di Steiner il momento di ciascuna di queste due mezze sbarrette, ciascuna di massa $ M/2 $, sarà $ \alpha ML^2/8 + ML^2/16 $ (Equazione 2). Dunque potete scrivere (Equazione1)=2(Equazione2), ricavando così che $ \alpha=1/12 $, senza fare alcun integrale, ma solo sfruttando questo trucco che funziona quando ci sono oggetti con particolari simmetrie.

Spero di aver scritto in modo comprensibile anche se sono un po' di fretta, comunque se avete dubbi chiedete!

Pigkappa
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Messaggio da Pigkappa » 24 mar 2008, 00:04

1)$ \displaystyle I = (1/4)ML^2 $ (viene subito in mente cosa fare...)
2)Per ora non ci sono riuscito.

memedesimo
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Messaggio da memedesimo » 24 mar 2008, 10:04

Attento, per il quadrato è $ 1/6ML^2 $!
Per il secondo punto, occhio a come aumentano le masse aumentando le dimensioni! se prendo un insieme di cantor lungo un terzo di quello originale, quanto sarà la sua massa rispetto all'originale?

Pigkappa
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Messaggio da Pigkappa » 24 mar 2008, 16:09

Ok... Visto che se le cose non le scrivo per bene sbaglio sempre i conti, scrivo le soluzioni. Chi vuole provare a fare i problemi non le legga!

1.)Sia $ \displaystyle L $ il lato del quadrato, $ \displaystyle M $ la massa. Si può vedere il quadrato come la somma di quattro altri quadrati di lato $ \displaystyle L/2 $ e massa $ \displaystyle M/4 $, con il centro a distanza $ \displaystyle L\sqrt{2}/4 $ dal centro del quadrato iniziale.
Il momento di inerzia del quadrato iniziale è:

$ \displaystyle I=\alpha ML^2 $

Quello di un quadrato piccolo, rispetto al centro del grande:

$ \displaystyle I_1=\alpha (M/4) (L/2)^2 + (M/4) (L\sqrt{2}/4)^2 $

Scrivendo infine $ \displaystyle I = 4I_1 $ si ricava $ \displaystyle \alpha = 1/6 $. La cosa preoccupante è che non ero sicuro fosse $ \displaystyle 1/4 $, e allora l'ho fatto anche integrando, ho fatto un errore e mi è venuto $ \displaystyle 1/4 $ anche in quel modo... :cry: .

Rilancio: con questo metodo, si può determinare il momento di inerzia di un rettangolo di lati$ \displaystyle a $ e $ \displaystyle b $?


2.)Immagino l'insieme disposto su una linea $ \displaystyle AD $ lunga $ \displaystyle L $. Scelgo il punto B ad un terzo della lunghezza, e C a due terzi. Dopo infiniti passi, il tipo di disposizione di masse nel tratto AB è la stessa che in tutta la sbarra. Inoltre, nel tratto BC non c'è massa. Perciò la massa del tratto AB è $ \displaystyle M/2 $, la lunghezza $ \displaystyle L/3 $. Il momento di inerzia totale è:

$ \displaystyle I_{AD}= \alpha M L^2 $

E quello del tratto AB, uguale a quello del tratto CD, rispetto al centro della linea:

$ \displaystyle I_{AB}= I_{CD}= \alpha (M/2) (L/3)^2 + (M/2) (L/3)^2 $

Si ha $ \displaystyle I_{AD} = 2 I_{AB} $ da cui $ \displaystyle \alpha = 1/8 $ (spero).

memedesimo
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Messaggio da memedesimo » 24 mar 2008, 17:37

bravo è giusto!

adesso la sfida è: proponete tutti gli oggetti a cui si può applicare il metodo!

Esempi sono: triangolo equilatero, alcuni triangoli iscosceli (e facendo un limite, un disco), l'insieme di cantor ma in 2D (cioè un quadratone a cui togliete un quadrato centrale di lato 1/3 e così via), cubo...e poi boh :D

Pigkappa
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Messaggio da Pigkappa » 24 mar 2008, 17:40

Si può applicare ad un rettangolo generico? Mi sa di no, perchè abbiamo due lunghezze...

BMcKmas
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Messaggio da BMcKmas » 26 mar 2008, 12:03

Pigkappa ha scritto:Si può applicare ad un rettangolo generico? Mi sa di no, perchè abbiamo due lunghezze...
ma $ \displaystyle I_z=I_x+I_y $ per cui.....
BMcKMas

"Ci sono almeno tre modi per ingannare: la falsità, l'omissione e la statistica" Anonimo saggio

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