Quanto vale la pressione a una distanza $ \displaystyle r $ dal centro di una sfera omogenea di raggio $ \displaystyle R $ e densità $ \displaystyle \rho $ in equilibrio idrostatico?
Si intende la pressione generata dalla forza di gravità del liquido (si supponga, cioè, di essere lontano dalla Terra).
Sfera idrostatica
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darkcrystal
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Dunque... per l'equilibrio idrostatico si deve avere $ \displaystyle dp=- \rho g(r) dr $, dove $ g(r) $denota l'accelerazione di gravità a distanza r dal centro.
Si trova facilmente $ \displaystyle g(r)=\frac{GMm}{mr^2}=\frac{G\frac{4}{3} \pi r^3 \rho}{r^2}=\frac{4 \pi G \rho r}{3} $. Sostituendo nell'equilibrio ottengo perciò $ \displaystyle dp= - \frac{4}{3} G \pi\rho^2 r dr $, che dopo integrazione fornisce $ \displaystyle p(r)=p(0)-\frac{2\pi G \rho^2 r^2}{3} $
Work in progress su come determinare la pressione in almeno un punto per trovare la costante... qualcuno potrebbe controllare fin qui?
Ciao!
Si trova facilmente $ \displaystyle g(r)=\frac{GMm}{mr^2}=\frac{G\frac{4}{3} \pi r^3 \rho}{r^2}=\frac{4 \pi G \rho r}{3} $. Sostituendo nell'equilibrio ottengo perciò $ \displaystyle dp= - \frac{4}{3} G \pi\rho^2 r dr $, che dopo integrazione fornisce $ \displaystyle p(r)=p(0)-\frac{2\pi G \rho^2 r^2}{3} $
Work in progress su come determinare la pressione in almeno un punto per trovare la costante... qualcuno potrebbe controllare fin qui?
Ciao!
"Solo due cose sono infinite: l'universo e la stupidità dell'uomo, e non sono tanto sicuro della prima" - Einstein
Membro dell'EATO
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Io l'ho fatto così...
Considero un cubetto di lato differenziale $ ds $ posto a unia distanza $ r $ dal centro (se vogliamo, la distanza dal centro è intesa dal lato inferiore del cubetto). La pressione sul lato inferiore del cubetto è generata dalla somma delle pressioni esercitate da tutti i cubetti (di lato $ ds $) che stanno disposti superiormente e radialmente rispetto a quello iniziale (quello a distanza r).
La pressione esercitata da ogni cubetto è data da $ \displaystyle \frac{G \rho ds^3 4 r^3 \pi \rho }{3r^2 ds^2}=\frac{4 G \rho^2 \pi r ds}{3} $.
Integro da r ad R e ottengo semplificando e raggruppando un po':
$ \displaystyle p=\frac{\pi 2 G \rho^2 (R^2-r^2)}{3} $
Considero un cubetto di lato differenziale $ ds $ posto a unia distanza $ r $ dal centro (se vogliamo, la distanza dal centro è intesa dal lato inferiore del cubetto). La pressione sul lato inferiore del cubetto è generata dalla somma delle pressioni esercitate da tutti i cubetti (di lato $ ds $) che stanno disposti superiormente e radialmente rispetto a quello iniziale (quello a distanza r).
La pressione esercitata da ogni cubetto è data da $ \displaystyle \frac{G \rho ds^3 4 r^3 \pi \rho }{3r^2 ds^2}=\frac{4 G \rho^2 \pi r ds}{3} $.
Integro da r ad R e ottengo semplificando e raggruppando un po':
$ \displaystyle p=\frac{\pi 2 G \rho^2 (R^2-r^2)}{3} $
(no comment)
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memedesimo
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- Iscritto il: 28 nov 2005, 17:17
Non vorrei dire cavolate, però ho provato a farlo e a me viene che
$ \displaystyle p(r)=\frac{\pi G \rho^2(R^4/r^2-r^2)}{3} $
Però mi sembra abbastanza intuitivo che a raggio R la pressione debba essere zero, perchè la pressione è data dal peso di quello che ti sta sopra, e sopra a quelli che stanno alla superficie non c'è niente! (speriamo di averci azzeccato!)
$ \displaystyle p(r)=\frac{\pi G \rho^2(R^4/r^2-r^2)}{3} $
Però mi sembra abbastanza intuitivo che a raggio R la pressione debba essere zero, perchè la pressione è data dal peso di quello che ti sta sopra, e sopra a quelli che stanno alla superficie non c'è niente! (speriamo di averci azzeccato!)
Ultima modifica di memedesimo il 30 apr 2008, 21:41, modificato 1 volta in totale.
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memedesimo
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- Iscritto il: 28 nov 2005, 17:17
Inoltre al centro intuitivamente la pressione dovrebbe essere infinita, in quanto un coso di superficie zero dovrebbe sopportare un certo peso...
Il procedimento che ho usato per calcolare la pressione è appunto vedere quanto "pesa" la parte di sfera che sta sopra a una certa distanza r e dividere questo peso per la superficie a distanza r
Il procedimento che ho usato per calcolare la pressione è appunto vedere quanto "pesa" la parte di sfera che sta sopra a una certa distanza r e dividere questo peso per la superficie a distanza r
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memedesimo
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Secondo me il ragionamento invece torna, alla fine è come dire che un cono perfetto di un certo materiale, se appoggiato per il vertice, crea una pressione infinita nel punto di contatto.
Teoricamente è giusto, ma in realtà non succede.
La stessa cosa nella sfera, teoricamente il peso di un certo settore viene sopportato solo dalla sua proiezione radiale verso il centro, ma in realtà in vicinanza del centro le cose si allontanano dalla proiezione teorica.
Teoricamente è giusto, ma in realtà non succede.
La stessa cosa nella sfera, teoricamente il peso di un certo settore viene sopportato solo dalla sua proiezione radiale verso il centro, ma in realtà in vicinanza del centro le cose si allontanano dalla proiezione teorica.
Membro dell'associazione "Matematici per la messa al bando dell'associazione "Matematici per la messa al bando del Sudoku" fondata da fph" fondata da Zoidberg
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memedesimo
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