Accelerazione di Coriolis

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dduss
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Accelerazione di Coriolis

Messaggio da dduss » 30 ago 2016, 15:56

Ragà, buongiorno. Ho un problema con la derivazione dell'accelerazione di Coriolis: detto $ I $ un sistema di riferimento inerziale con origine in $ O_I, N $ un sistema di riferimento non inerziale la cui origine $ O_N $ sia descritta, in $ I $, dal vettore $ \vec{r_S} $, si ha chiaramente $ \vec{r_I} = \vec{r_N} + \vec{r_S} $ dove $ \vec{r_I} $ è il vettore posizione di un qualunque punto $ P $ del piano, nel riferimento $ I $, e $ \vec{r_N} $ il vettore posizione dello stesso punto, nel riferimento $ N $. Naturalmente, tutti e tre i vettori sono funzioni del tempo, ma l'uguaglianza vale in ogni istante, dunque continua a valere se prendiamo le derivate membro a membro, ottenendo $ \vec{v_I} = \vec{v_S} + \vec{v_N} $ dove i vettori sono, rispettivamente, la velocità di $ P $ in $ I $, la velocità di $ O_N $ in $ I $ e la velocità di $ P $ in $ N $. Continuando a derivare $ \vec{a_I} = \vec{a_S} + \vec{a_N} $ con chiaro significato dei simboli; al secondo membro, però, manca un termine $ +\vec{a_c} = +2\vec{\omega} \times \vec{v_N} $, dove $ \omega $ è la velocità angolare di $ O_N $ rispetto al polo $ O_I $ (oppure la velocità angolare con cui $ N $ ruota su sè stesso?). Come ne vengo fuori? Non ho proprio idea di come salti fuori quella roba...

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Lasker
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Re: Accelerazione di Coriolis

Messaggio da Lasker » 30 ago 2016, 20:40

Allora, secondo me il modo più chiaro è esplicitare bene tutti i sistemi di riferimento e fare tutti i conticini in coordinate privilegiando il sistema inerziale (personale opinione, si capisce tutto meglio nei sistemi inerziali :mrgreen: ). Tipo $I$ è un sistema di riferimento fisso con i tre assi lungo $\hat{x},\hat{y}, \hat{z}$, mentre $N$ si muove male e gli assi sono lungo $\hat{x_1},\hat{y_1}, \hat{z_1}$ (che invece ruotano e traslano rispetto al sistema inerziale). Scriviamo la prima relazione sui raggi che hai messo in queste coordinate:
$$x_I\hat{x}+y_I\hat{y}+z_I \hat{z}=(x_S\hat{x}+y_S\hat{y}+z_S\hat{z})+(x_N\hat{x_1}+y_N\hat{y_1}+z_N\hat{z_1})$$
Nota che un vettore può cambiare perché cambiano le sue componenti nel sistema di riferimento (caso facile) o perché il sistema di riferimento si muove (è qui che hai sbagliato secondo me!). Se derivi rispetto al tempo ricordandoti che $\hat{x},\hat{y}, \hat{z}$ sono fissi, ottieni:
$$x_I'\hat{x}+y_I'\hat{y}+z_I' \hat{z}+\underbrace{x_I\hat{x}'+y_I\hat{y}'+z_I \hat{z}'}_{\textrm{è 0 per quello che ho scritto}}=(x_S'\hat{x}+y_S'\hat{y}+z_S'\hat{z}+\underbrace{x_S\hat{x}'+y_S\hat{y}'+z_S\hat{z}'}_{\textrm{è 0 per quello che ho scritto}})+(x_N'\hat{x_1}+y_N'\hat{y_1}+z_N'\hat{z_1}+\underbrace{x_N\hat{x_1}'+y_N\hat{y_1}'+z_N\hat{z_1}'}_{\textrm{non è 0!!}})$$
Quindi l'espressione semplificata viene
$$x_I'\hat{x}+y_I'\hat{y}+z_I' \hat{z}=(x_S'\hat{x}+y_S'\hat{y}+z_S'\hat{z})+(x_N'\hat{x_1}+y_N'\hat{y_1}+z_N'\hat{z_1}+x_N\hat{x_1}'+y_N\hat{y_1}'+z_N\hat{z_1}')$$
Adesso viene in aiuto una formula utile (se hai più voglia di me dimostrala, si usa un sacco in fisica)

Truccone: la derivata rispetto al tempo di un vettore di modulo fissato $\vec{v}$ che ruota con velocità angolare $\vec{\omega}$ è $\vec{\omega}\times \vec{v}$.

Quindi il formulone di prima si scrive come
$$x_I'\hat{x}+y_I'\hat{y}+z_I' \hat{z}=(x_S'\hat{x}+y_S'\hat{y}+z_S'\hat{z})+(x_N'\hat{x_1}+y_N'\hat{y_1}+z_N'\hat{z_1})+\vec{\omega}\times(x_N\hat{x_1}+y_N\hat{y_1}+z_N\hat{z_1})$$
Ovvero come
$$\vec{v_I}=\vec{v_S}+\vec{v_N}+\omega\times \vec{r_N}$$
Che è diversa dalla tua! Adesso ripetendo lo stesso ragionamento derivando un'altra volta si ottiene
$$\vec{a_I}=\vec{a_S}+\vec{a_N}+\vec{\omega}\times \vec{v_N}+\vec{\omega}'\times \vec{r_N}+\vec{\omega}\times \vec{v_N}+\vec{\omega}\times\vec{\omega}\times \vec{r_N}$$
Se raccogli i termini simili puoi interpretare tutte le accelerazioni come dovute a "forze apparenti" nel sistema non inerziale
$$\vec{a_I}=\underbrace{\vec{a_N}}_{\textrm{risultante nel sistema non inerziale}}+\underbrace{\vec{a_S}}_{\textrm{accelerazione tra i due sistemi}}+\underbrace{2\vec{\omega}\times \vec{v_N}}_{\textrm{Coriolis}}+\underbrace{\vec{\omega}'\times \vec{r_N}}_{Azimutale}+\underbrace{\vec{\omega}\times\vec{\omega}\times \vec{r_N}}_{\textrm{Centrifuga}}$$
E boh, circa basta (spero di non aver fatto troppa confusione tra conti e indici).
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)

"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)

Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

dduss
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Re: Accelerazione di Coriolis

Messaggio da dduss » 30 ago 2016, 21:39

Grazie mille, sei stato chiarissimo :D

dduss
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Re: Accelerazione di Coriolis

Messaggio da dduss » 31 ago 2016, 09:04

Non tenevo conto del fatto che $ r_N $ ruota, in $ I $, con una velocità angolare aggiuntiva pari a quella di $ N $ stesso.

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