un problemino divertente

Giochini matematici elementari ma non olimpici.
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sastra81
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un problemino divertente

Messaggio da sastra81 » 12 nov 2007, 11:32

Tre prigionieri Mark, Luke e Thomas si trovano in una cella . Due di loro dovranno essere fucilati ma ciascuno di loro non sa se dovra morire oppure no.
Poiche almeno uno fra Luke e Thomas dovra morire Mark chiede ad una sua guardia ci sia dei due. La guardia risponde Luke. A questo punto Mark si rallegra pensando che la sua probabilita di morire è passata da 2/3 a 1/2. Ha effettivamente motivo di rallegrarsi?

flexwifi
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Messaggio da flexwifi » 12 nov 2007, 12:30

Se la guardia e' in grado di dire con certezza che tra Luke e Thomas morira' Luke allora Thomas si salva e Mark evidentemente fa una brutta fine... :D

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Agi_90
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Messaggio da Agi_90 » 12 nov 2007, 15:36

Mh, analizziamo i tre casi possibili,

1) muoiono Mark e Thomas,
2) muoiono Mark e Luke
3) muoiono Luke e Thomas.

La guardia risponde che Luke morirà, quindi ci sono da prendere solo i casi 2 e 3, e in effetti Mark si salva in 1 caso su 2.

Ma c'è da considerare anche il fatto che, indipendentemente dalla risposta della guardia, la probabilità si riduce sempre a $ \frac{1}{2} $, e questo non dovrebbe avere senso, o no? (quindi la risposta qui sarebbe no)

Boh :shock:
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julio14
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Messaggio da julio14 » 12 nov 2007, 19:30

Il ragionamento più semplice è che la risposta della guardia non dice assolutamente niente su Mark e quindi la sua probabilità rimane 2/3: cosa cambia a Mark se la guardia risponde Luke o Thomas? assolutamente niente.
Oppure si possono analizzare meglio i casi:
muioiono: possibilità di risposta L:
M T..........0
M L..........1
L T..........1/2
quindi due volte su tre la combinazione è ML, e una LT
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Russell
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Messaggio da Russell » 12 nov 2007, 20:11

Le coppie di possibili morituri sono $ 3 $ ed ognuna di esse ha probabilità $ \frac{1}{3} $ di essere quella sfortunata.
Siano $ A, B, C $ le tre coppie.
Casi possibili:
a) la guardia mente e muore $ A $
b) la guardia dice il vero e muore $ A $
c) la guardia mente e muore $ B $
d) la guardia dice il vero e muore $ B $
e) la guardia mente e muore $ C $
f) la guardia dice il vero e muore $ C $

Ognuno di questi eventi ha probabilità $ \frac{1}{6} $ e dunque gli eventi a).....f) sono complementari e incompatibili.

Non è restrittivo supporre che Mark faccia parte delle coppie $ A $ e $ B $, e morirà in $ 4 $ casi su $ 6 $, tutti equiprobabili.
Conclusione: Mark ha una probabilità pari a $ \frac{2}{3} $ di morire.
"Il fatto che un'opinione sia ampiamente condivisa, non è affatto una prova che non sia completamente assurda" B. Russell

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julio14
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Messaggio da julio14 » 12 nov 2007, 20:17

Non credo che la guardia possa mentire, ma in ogni caso la probabilità rimane 2/3 come dici tu perchè la risposta della guardia oltre ad essere insignificante per Mark non è neanche attendibile non avendo nessun tipo di informazione sulla sua veridicità
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Zoidberg
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Messaggio da Zoidberg » 12 nov 2007, 22:36

Secondo me Mark non ha alcun motivo di rallegrarsi perchè aveva anche prima probabilità 1/2 di morire.
Al massimo è Thomas che potrebbe leggermente rallegrarsi per essere passato da 2/3 a 1/2.
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Messaggio da Nonno Bassotto » 12 nov 2007, 23:56

La probabilità rimane ovviamente 2/3.

Il fatto che la guardia dica "Luke" riduce i casi possibili a 2, ma i casi non sono equiprobabili. Nel caso "Luke + Mark" la guardia è forzata a dire "Luke", mentre nel caso "Luke + Thomas" la probabilità che la guardia dica "Luke" invece che "Thomas" è 1/2.

Perciò la probabilità del caso "Luke + Mark" SAPENDO CHE LUKE MORIRÀ è doppia di quella del caso "Luke + Thomas", mentre la probabilità di "Mark + Thomas" diventa 0. In conclusione la probabilità cercata resta 2/3.

Morale: se partiamo da alcuni casi equiprobabili e aggiungiamo informazioni, non solo rendiamo alcuni casi impossibili, ma le probabilità dei restanti casi non sono più necessariamente uguali.
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Messaggio da Agi_90 » 13 nov 2007, 00:13

finalmente un po' di chiarezza! :wink:
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albert_K
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Messaggio da albert_K » 13 nov 2007, 00:38

E' simile al gioco della capra dietro la porta :lol: .

In realtà però mi sembra un po' formulato male. Io l'ho letto sul libro di Martin Gardner e specificava il fatto che il prigioniero (Mark) chiedesse alla guardia il nome di uno dei due giustiziati tra gli altri prigionieri. La guardia risponde Luke.
Questo non riduce le possibilità di sopravvivenza di Mark, ma aumenta (raddoppia) quelle di Thomas!
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julio14
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Messaggio da julio14 » 13 nov 2007, 17:28

veramente dimezza quelle di thomas... quello che ci perde alla fine è, ovviamente, luke: le probabilità totali hanno sempre somma 2, all'inizio hanno 2/3 a testa, con la domanda luke "prende" 1/3 di thomas
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wolverine
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Messaggio da wolverine » 15 nov 2007, 15:50

Dunque, mi sembra abbiamo appurato che ai fini del sapere qualcosa sulla sua sopravvivenza, la domanda di Mark "Chi muore tra Luke e Thomas?" sia del tutto irrilevante, mentre la domanda "Luke muore?" abbia un suo perche'... :)

Ma mettiamo che Mark si sia sbagliato e abbia chiesto "Chi muore?" e gli sia stato risposto Luke. Al cambio di guardia quale dovrebbe scegliere tra queste due domande:

"Chi muore tra Luke e Thomas?"
"Luke muore?"

(e come cambiano le sue probabilita' di salvezza dopo la seconda risposta?)
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Messaggio da Nonno Bassotto » 15 nov 2007, 16:06

Wolverine, non ho capito bene qual è la tua domanda. In ogni caso credo che siamo tutti d'accordo che Mark non possa far nulla (se è condannato) per evitare la morte, quindi non "gli conviene" fare nessuna domanda in particolare, se non per soddisfare la propria curiosità.

Certo se chiede "Luke muore" e gli viene risposto di sì (con prob 2/3), le sue chances di sopravvivere salgono a 1/2, ma d'altro canto se gli viene risposto no (prob 1/3) le sue chances crollano a 0. In media non ci rimette né ci guadagna (2/3 * 1/2 + 1/3 * 0 = 1/3). Né con questa né con nessun altra domanda.
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wolverine
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Messaggio da wolverine » 15 nov 2007, 16:18

Si' si', intendevo "non gli serve a nulla ai fini del soddisfare la propria curiosita'", dove curiosita' sta per "che probabilita' ho di salvarmi?" Naturale che non possa salvarsi a forza di far domande :D

Con "domanda migliore" intendevo quella che gli da' qualche informazione, buona o cattiva che sia.

Poi uno potrebbe chiedersi "quanta informazione", e a questo mi sembra non ci sia nulla da aggiungere alla tua risposta.

Per cui chiedevo: se si e' sbagliato e ha fatto la domanda che non gli forniva nessuna informazione, cosa dovrebbe chiedere alla seconda guardia?
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Jaquy
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Messaggio da Jaquy » 26 nov 2007, 17:51

-Mi ucciderete?
Toglie ogni dubbio...

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