Maledetta fortuna dei nani

Giochini matematici elementari ma non olimpici.
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Febo
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Maledetta fortuna dei nani

Messaggio da Febo » 01 ott 2007, 13:15

Allora, ecco a voi una simpatica storiella:

un malefico stregone ha imprigionato $ kn $ nani. Siccome egli è un malefico stregone, vuole sterminarli tutti. In un momento di debolezza, però, decide di far loro fare un simpatico giochetto con dei cappelli, e chi indovina si salva (almeno per ora). Il gioco è questo: lui ha un po’ di cappelli di $ k $ colori diversi, ne mette in testa uno a ciascun nano, ogni nano vede solo i cappelli degli altri, e al suo segnale tutti devono dire contemporaneamente il colore del proprio cappello (tutti tranne lo stregone si intende). Spiega come funziona il gioco ai nani il giorno prima di farlo, per paura che lì sul momento non capiscano le regole...

Durante la notte il dotto Saggio (il più intelligente dei nani) pensa una strategia su come comportarsi e la spiega agli altri nani, che lo applaudono per la sua geniale (???) trovata. Ma (coup de scène) il malefico stregone ha corrotto un nano affinché gli riveli la strategia, di modo che poi lui, il giorno dopo, possa scegliere i cappelli per far morire il maggior numero possibile di nani. Appena lo stregone viene a sapere la strategia che il dotto Saggio (o forse Saggiolo, non mi ricordo mai) ha pensato, si infuria e esclama stizzito: “Maledetta fortuna dei nani!”

Il giorno dopo si fa il giochetto non particolarmente divertente dei cappelli.

E ora, i grandi dilemmi irrisolti, lasciati al lettore come esercizio:

1) Quanti nani si salvano?

2) Spiegare il significato di “(???)” nel testo.
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enomis_costa88
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Messaggio da enomis_costa88 » 01 ott 2007, 13:31

Era mooolto più simpatico con l'assioma della scelta per la comunità dei nostri amici nani (che sono affini a noi egnomis) :evil:

Difendere i NANI sempre e comunque!
Uccidiamo lo stregone malvagio!
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Esmeralda
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Messaggio da Esmeralda » 01 ott 2007, 13:34

Wow finalmente un problema in cui quei nani antipatici e rompiscatole muoiono :D ora ci penso sopra..

Piuttosto non è che finiti i nani si possono usare anche quei barbuti, piccoli, scuri alcolizzati degli egnomis per questi giochi simpatici?
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Messaggio da enomis_costa88 » 01 ott 2007, 18:22

Ora in barba a quel cattivo stregone di febo e alla vecchia megera di esmeralda ne salveremo n..

Considero n gruppi di k nani.

In ogni gruppo opero come segue:

Considero la stringa $ (x_1,\dots,x_k) $
Ho $ k^k $ stringhe possibili, le partiziono in k gruppi di $ k^{k-1} $ partizioni ed associo una partizione ad ogni nano come segue:
una stringa appartiene alla partizione i esima sse $ x_1+\dots+x_k \equiv i \pmod k $.

In questo modo il nano i esimo aggiusterà il termine mancante facendo finta che la stringa appartenga alla propria partizione.
Quindi esattamente un nano sopravviverà comunque data la stringa (la stringa ha un univo valore modulo k e un nano azzeccherà quel valore).

In tutto salverò quindi n nani.
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Esmeralda
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Messaggio da Esmeralda » 01 ott 2007, 18:25

Quello che enomis non dice è che..non può esistere una strategia che ne salvi sempre più di n :P
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Messaggio da enomis_costa88 » 01 ott 2007, 18:28

Hey mica potevo dare a voi stregoni questa enorme soddisfazione..

comunque purtroppo avete ragione :roll:

Ipotizziamo ci sia una strategia tale che ogni volta salvi più di n nanetti.

La probabilità che un nano si salvi è $ \frac{1}{k} $ indipendentemente dal proprio colore.

Sia c(i) le configurazioni in cui il nano i esimo si salva.
Siano S le configurazioni totali.
Se ne salvo sempre almeno n+1 ottengo che la probabilità media che un nano si salvi è data da:

media tra: $ \frac{c(i)}{S} $
ovvero:
$ \frac{\frac{\sum c(i)}{S}}{kn} $
ora dato che in ciascuna configurazione si salvano almeno n+1 nanetti $ \sum c(i) $ vale almeno (n+1)S
e quindi quel valore medio è almeno:
$ \frac{n+1}{kn} $ .
Assurdo!

Vabbè non siete comunque riusciti ad ucciderli tutti :P
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moebius
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Messaggio da moebius » 02 ott 2007, 11:04

Ovunque ci sia un nanetto da salvare noi arriviamo!
Comunque alla fine il malvagio stregone non ne ucciderà nemmeno uno.
Infatti il malvagio stregone, preso dalla brama di uccidere quanti più nanetti poteva, ne ha catturati tantissimi.
I nanetti, che sono di per se molto pacifici, una volta sentito il gioco dello stregone ed aver da poco affrontato un problema ben più complesso, si sono un poco alterati ed hanno narcotizzato a picconate il malvagio stregone perchè faceva giochi troppo stupidi e loro non si divertivano :D
Dopodichè se ne son andati canticchiando "Ehi oh! Ehi oh!"
Canzone che, non serve dirlo, è l'inno dell'associazione e che ogni membro o simpatizzante può trovare qui:
http://oliforum.altervista.org/Walt Disney - Biancaneve e i 7 nani - Ehi oh!.mp3

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Fondatore: [url=http://olimpiadi.dm.unipi.it/oliForum/viewtopic.php?t=8899]Associazione non dimenticatevi dei nanetti![/url]
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Sono troppo scarso in italiano per usare parole con la c o la q...

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