Radice infinita
Radice infinita
Questo problema mi è sembrato carino : quanto vale x? Non serve alcuna conoscenza particolare per risolverlo.
Ciao,
Giuliano
Ciao,
Giuliano
perdona la mia ignoranza ma non capisco il passaggio in cuigippo ha scritto:$ \[ \displaymath x^{x^{\displaymath x^\cdots}} $ = $ x^2 $Jacobi ha scritto:il problema e' molto simile al seguente: $ \[ \displaymath x^{x^{\displaymath x^\cdots}} $ = $ x^2 $ quanto vale x?
$ \[ \displaymath x^{x^{\displaymath x^\cdots}} $ = 2
$ x^2 $ = 2
x = $ \pm \sqrt{2} $
$ \[ \displaymath x^{x^{\displaymath x^\cdots}} $ $ = x^2 $
$ \[ \displaymath x^{x^{\displaymath x^\cdots}} $ $ = 2 $
perchè $ \[ \displaymath x^{x^{\displaymath x^\cdots}} $ è uguale a 2?
l'esponente al LHS dev'essere uguale all'esponente al RHS, essendo la base la stessa (x), quindi hai quell'uguaglianza li
e comunque così facendo perdi il caso x=1, achtung eh!
e comunque così facendo perdi il caso x=1, achtung eh!
[url=http://www.myspace.com/italiadimetallo][img]http://img388.imageshack.us/img388/4813/italiadimetallogn7.jpg[/img][/url]
Buona osservazione!salva90 ha scritto:l'esponente al LHS dev'essere uguale all'esponente al RHS, essendo la base la stessa (x), quindi hai quell'uguaglianza li
e comunque così facendo perdi il caso x=1, achtung eh!
Mi viene anche un dubbio sulla soluzione negativa... è valida? Per esempio -1/2 elevato a -1/2 non ha senso...
Beh... secondo me invece non ha senso in generale.salva90 ha scritto:se proprio vogliamo essere pignoli, non ha senso in $ ~\mathbb{R} $ :P
Sei d'accordo che l'espressione $ \sqrt{-1} $ non ha senso?
i si definisce come il numero che al quadrato dà -1, non come la radice di -1. Il simbolo "radice quadrata" non ammette semplicemente un radicando < 0.
Tutto questo secondo i miei "lontani" ricordi universitari... :-)
- enomis_costa88
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Bè si può sempre dire che i è una delle due radici due esime del numero complesso -1
1) la successione è banalmente monotona crescente.
2) E' limitata superiormente (si vede per induzione che se a_n è più piccolo di 2 allora anche a_{n+1} lo sarà poichè è una radice di qualcosa più piccolo di 4).
Ed è anche banalmente limitata inferiormente.
Quindi la successione ha un limite finito.
Bè una volta vista che questa successione è carina (e che la funzione "passo successivo" è continua)..
basta porre $ a_{n+1}=a_n=\sqrt{2+a_n} $ che ha come unica soluzione positiva 2.
Rilancio..dimostrare che:
$ 2^m\sqrt{2-\sqrt{2+\dots}} $ dove sono presenti m radici va a pi greco per m che va ad infinito (da cui discende facilmente la vostra tesi).
1) la successione è banalmente monotona crescente.
2) E' limitata superiormente (si vede per induzione che se a_n è più piccolo di 2 allora anche a_{n+1} lo sarà poichè è una radice di qualcosa più piccolo di 4).
Ed è anche banalmente limitata inferiormente.
Quindi la successione ha un limite finito.
Bè una volta vista che questa successione è carina (e che la funzione "passo successivo" è continua)..
basta porre $ a_{n+1}=a_n=\sqrt{2+a_n} $ che ha come unica soluzione positiva 2.
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$ 2^m\sqrt{2-\sqrt{2+\dots}} $ dove sono presenti m radici va a pi greco per m che va ad infinito (da cui discende facilmente la vostra tesi).
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Certamente :-)enomis_costa88 ha scritto:Bè si può sempre dire che i è una delle due radici due esime del numero complesso -1
Perfetto! Una curiosità : se sei dell'88 probabilmente hai appena finito le superiori...mi chiedevo se le serie e le successioni [adesso] fanno parte del programma. Io le ho fatte al primo anno di università.enomis_costa88 ha scritto:1) la successione è banalmente monotona crescente.
2) E' limitata superiormente (si vede per induzione che se a_n è più piccolo di 2 allora anche a_{n+1} lo sarà poichè è una radice di qualcosa più piccolo di 4).
Ed è anche banalmente limitata inferiormente.
Quindi la successione ha un limite finito.
Bè una volta vista che questa successione è carina (e che la funzione "passo successivo" è continua)..
basta porre $ a_{n+1}=a_n=\sqrt{2+a_n} $ che ha come unica soluzione positiva 2.
Putroppo in questo momento sono pagato per lavorare :-), ma se ho un po' di tempo provero` ad attaccare il tuo problema!enomis_costa88 ha scritto: Rilancio..dimostrare che:
$ 2^m\sqrt{2-\sqrt{2+\dots}} $ dove sono presenti m radici va a pi greco per m che va ad infinito (da cui discende facilmente la vostra tesi).
Ciao
Giuliano(80....)
- enomis_costa88
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Si appena finite, so per certo che esistono delle scuole in cui si fanno e suppongo proprio facciano parte del programma (anche se purtroppo spesso, come è capitato nella mia classe, si saltano per motivi di tempo).gippo ha scritto:Una curiosità : se sei dell'88 probabilmente hai appena finito le superiori...mi chiedevo se le serie e le successioni [adesso] fanno parte del programma. Io le ho fatte al primo anno di università.
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