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Questo problema mi è sembrato carino : quanto vale x? Non serve alcuna conoscenza particolare per risolverlo.



Ciao,

Giuliano

2?

Zoidberg ha scritto:2?

Esatto :-)

eleviamo entrambi i membri al quadrato e quindi otteniamo $ x+ $(roba con radici)$ =4 $, ma (roba con radici) $ =2 $, quindi $ x+2=4 $da cui la soluzione. il problema e' molto simile al seguente: $ \[ \displaymath x^{x^{\displaymath x^\cdots}} $ = $ x^2 $ quanto vale x?

Jacobi ha scritto:il problema e' molto simile al seguente: $ \[ \displaymath x^{x^{\displaymath x^\cdots}} $ = $ x^2 $ quanto vale x?

$ \[ \displaymath x^{x^{\displaymath x^\cdots}} $ = $ x^2 $
$ \[ \displaymath x^{x^{\displaymath x^\cdots}} $ = 2
$ x^2 $ = 2
x = $ \pm \sqrt{2} $

gippo ha scritto:

Jacobi ha scritto:il problema e' molto simile al seguente: $ \[ \displaymath x^{x^{\displaymath x^\cdots}} $ = $ x^2 $ quanto vale x?

$ \[ \displaymath x^{x^{\displaymath x^\cdots}} $ = $ x^2 $
$ \[ \displaymath x^{x^{\displaymath x^\cdots}} $ = 2
$ x^2 $ = 2
x = $ \pm \sqrt{2} $

perdona la mia ignoranza ma non capisco il passaggio in cui
$ \[ \displaymath x^{x^{\displaymath x^\cdots}} $ $ = x^2 $
$ \[ \displaymath x^{x^{\displaymath x^\cdots}} $ $ = 2 $

perchè $ \[ \displaymath x^{x^{\displaymath x^\cdots}} $ è uguale a 2?

l'esponente al LHS dev'essere uguale all'esponente al RHS, essendo la base la stessa (x), quindi hai quell'uguaglianza li

e comunque così facendo perdi il caso x=1, achtung eh!

salva90 ha scritto:l'esponente al LHS dev'essere uguale all'esponente al RHS, essendo la base la stessa (x), quindi hai quell'uguaglianza li

e comunque così facendo perdi il caso x=1, achtung eh!

sarà che ancora mi devo finire di svegliare

comunque grazie

salva90 ha scritto:l'esponente al LHS dev'essere uguale all'esponente al RHS, essendo la base la stessa (x), quindi hai quell'uguaglianza li

e comunque così facendo perdi il caso x=1, achtung eh!

Buona osservazione!
Mi viene anche un dubbio sulla soluzione negativa... è valida? Per esempio -1/2 elevato a -1/2 non ha senso...

se proprio vogliamo essere pignoli, non ha senso in $ ~\mathbb{R} $

salva90 ha scritto:se proprio vogliamo essere pignoli, non ha senso in $ ~\mathbb{R} $ :P

Beh... secondo me invece non ha senso in generale.
Sei d'accordo che l'espressione $ \sqrt{-1} $ non ha senso?
i si definisce come il numero che al quadrato dà -1, non come la radice di -1. Il simbolo "radice quadrata" non ammette semplicemente un radicando < 0.
Tutto questo secondo i miei "lontani" ricordi universitari... :-)

Bè si può sempre dire che i è una delle due radici due esime del numero complesso -1

1) la successione è banalmente monotona crescente.
2) E' limitata superiormente (si vede per induzione che se a_n è più piccolo di 2 allora anche a_{n+1} lo sarà poichè è una radice di qualcosa più piccolo di 4).
Ed è anche banalmente limitata inferiormente.
Quindi la successione ha un limite finito.

Bè una volta vista che questa successione è carina (e che la funzione "passo successivo" è continua)..
basta porre $ a_{n+1}=a_n=\sqrt{2+a_n} $ che ha come unica soluzione positiva 2.

Rilancio..dimostrare che:
$ 2^m\sqrt{2-\sqrt{2+\dots}} $ dove sono presenti m radici va a pi greco per m che va ad infinito (da cui discende facilmente la vostra tesi).

enomis_costa88 ha scritto:Bè si può sempre dire che i è una delle due radici due esime del numero complesso -1

Certamente :-)

enomis_costa88 ha scritto:1) la successione è banalmente monotona crescente.
2) E' limitata superiormente (si vede per induzione che se a_n è più piccolo di 2 allora anche a_{n+1} lo sarà poichè è una radice di qualcosa più piccolo di 4).
Ed è anche banalmente limitata inferiormente.
Quindi la successione ha un limite finito.

Bè una volta vista che questa successione è carina (e che la funzione "passo successivo" è continua)..
basta porre $ a_{n+1}=a_n=\sqrt{2+a_n} $ che ha come unica soluzione positiva 2.

Perfetto! Una curiosità : se sei dell'88 probabilmente hai appena finito le superiori...mi chiedevo se le serie e le successioni [adesso] fanno parte del programma. Io le ho fatte al primo anno di università.

enomis_costa88 ha scritto: Rilancio..dimostrare che:
$ 2^m\sqrt{2-\sqrt{2+\dots}} $ dove sono presenti m radici va a pi greco per m che va ad infinito (da cui discende facilmente la vostra tesi).

Putroppo in questo momento sono pagato per lavorare :-), ma se ho un po' di tempo provero` ad attaccare il tuo problema!

Ciao

Giuliano(80....)

gippo ha scritto:Una curiosità : se sei dell'88 probabilmente hai appena finito le superiori...mi chiedevo se le serie e le successioni [adesso] fanno parte del programma. Io le ho fatte al primo anno di università.

Si appena finite, so per certo che esistono delle scuole in cui si fanno e suppongo proprio facciano parte del programma (anche se purtroppo spesso, come è capitato nella mia classe, si saltano per motivi di tempo).

salva90 ha scritto:
e comunque così facendo perdi il caso x=1, achtung eh!

ACHTUNG: $ 1^{1^{1^{...}}} $ non e' 1 in quanto se lo fosse potremmo scrivere:

$ 1^{1^{1^{...}}} = 1 = 1^n \Rightarrow 1^{1^{...}} = n $ (indeterminato)