Radice infinita

Giochini matematici elementari ma non olimpici.
gippo
Messaggi: 58
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Tours (Francia)

Radice infinita

Messaggio da gippo » 31 lug 2007, 17:19

Questo problema mi è sembrato carino : quanto vale x? Non serve alcuna conoscenza particolare per risolverlo.

Immagine

Ciao,

Giuliano

Avatar utente
Zoidberg
Messaggi: 312
Iscritto il: 10 mar 2006, 15:41
Località: Pisa - Trebaseleghe (PD)
Contatta:

Messaggio da Zoidberg » 31 lug 2007, 17:33

2?

gippo
Messaggi: 58
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Tours (Francia)

Messaggio da gippo » 31 lug 2007, 17:48

Zoidberg ha scritto:2?
Esatto :-)

Jacobi
Messaggi: 227
Iscritto il: 08 mar 2007, 16:29

Messaggio da Jacobi » 31 lug 2007, 21:21

eleviamo entrambi i membri al quadrato e quindi otteniamo $ x+ $(roba con radici)$ =4 $, ma (roba con radici) $ =2 $, quindi $ x+2=4 $da cui la soluzione. il problema e' molto simile al seguente: $ \[ \displaymath x^{x^{\displaymath x^\cdots}} $ = $ x^2 $ quanto vale x?
MIND TORNA CON NOI

gippo
Messaggi: 58
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Tours (Francia)

Messaggio da gippo » 01 ago 2007, 09:31

Jacobi ha scritto:il problema e' molto simile al seguente: $ \[ \displaymath x^{x^{\displaymath x^\cdots}} $ = $ x^2 $ quanto vale x?
$ \[ \displaymath x^{x^{\displaymath x^\cdots}} $ = $ x^2 $
$ \[ \displaymath x^{x^{\displaymath x^\cdots}} $ = 2
$ x^2 $ = 2
x = $ \pm \sqrt{2} $

Alex90
Messaggi: 260
Iscritto il: 25 mag 2007, 13:49
Località: Perugia

Messaggio da Alex90 » 01 ago 2007, 09:51

gippo ha scritto:
Jacobi ha scritto:il problema e' molto simile al seguente: $ \[ \displaymath x^{x^{\displaymath x^\cdots}} $ = $ x^2 $ quanto vale x?
$ \[ \displaymath x^{x^{\displaymath x^\cdots}} $ = $ x^2 $
$ \[ \displaymath x^{x^{\displaymath x^\cdots}} $ = 2
$ x^2 $ = 2
x = $ \pm \sqrt{2} $
perdona la mia ignoranza ma non capisco il passaggio in cui
$ \[ \displaymath x^{x^{\displaymath x^\cdots}} $ $ = x^2 $
$ \[ \displaymath x^{x^{\displaymath x^\cdots}} $ $ = 2 $

perchè $ \[ \displaymath x^{x^{\displaymath x^\cdots}} $ è uguale a 2?

Avatar utente
salva90
Messaggi: 1314
Iscritto il: 19 ott 2006, 18:54
Località: Carrara

Messaggio da salva90 » 01 ago 2007, 09:55

l'esponente al LHS dev'essere uguale all'esponente al RHS, essendo la base la stessa (x), quindi hai quell'uguaglianza li :wink:

e comunque così facendo perdi il caso x=1, achtung eh!
[url=http://www.myspace.com/italiadimetallo][img]http://img388.imageshack.us/img388/4813/italiadimetallogn7.jpg[/img][/url]

Alex90
Messaggi: 260
Iscritto il: 25 mag 2007, 13:49
Località: Perugia

Messaggio da Alex90 » 01 ago 2007, 10:07

salva90 ha scritto:l'esponente al LHS dev'essere uguale all'esponente al RHS, essendo la base la stessa (x), quindi hai quell'uguaglianza li :wink:

e comunque così facendo perdi il caso x=1, achtung eh!
:o :o :o sarà che ancora mi devo finire di svegliare :lol:

comunque grazie :wink:

gippo
Messaggi: 58
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Tours (Francia)

Messaggio da gippo » 01 ago 2007, 10:35

salva90 ha scritto:l'esponente al LHS dev'essere uguale all'esponente al RHS, essendo la base la stessa (x), quindi hai quell'uguaglianza li :wink:

e comunque così facendo perdi il caso x=1, achtung eh!
Buona osservazione!
Mi viene anche un dubbio sulla soluzione negativa... è valida? Per esempio -1/2 elevato a -1/2 non ha senso...

Avatar utente
salva90
Messaggi: 1314
Iscritto il: 19 ott 2006, 18:54
Località: Carrara

Messaggio da salva90 » 01 ago 2007, 11:00

se proprio vogliamo essere pignoli, non ha senso in $ ~\mathbb{R} $ :P
[url=http://www.myspace.com/italiadimetallo][img]http://img388.imageshack.us/img388/4813/italiadimetallogn7.jpg[/img][/url]

gippo
Messaggi: 58
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Tours (Francia)

Messaggio da gippo » 01 ago 2007, 12:23

salva90 ha scritto:se proprio vogliamo essere pignoli, non ha senso in $ ~\mathbb{R} $ :P
Beh... secondo me invece non ha senso in generale.
Sei d'accordo che l'espressione $ \sqrt{-1} $ non ha senso?
i si definisce come il numero che al quadrato dà -1, non come la radice di -1. Il simbolo "radice quadrata" non ammette semplicemente un radicando < 0.
Tutto questo secondo i miei "lontani" ricordi universitari... :-)

Avatar utente
enomis_costa88
Messaggi: 537
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Brescia

Messaggio da enomis_costa88 » 01 ago 2007, 13:17

Bè si può sempre dire che i è una delle due radici due esime del numero complesso -1 :wink:

1) la successione è banalmente monotona crescente.
2) E' limitata superiormente (si vede per induzione che se a_n è più piccolo di 2 allora anche a_{n+1} lo sarà poichè è una radice di qualcosa più piccolo di 4).
Ed è anche banalmente limitata inferiormente.
Quindi la successione ha un limite finito.

Bè una volta vista che questa successione è carina (e che la funzione "passo successivo" è continua)..
basta porre $ a_{n+1}=a_n=\sqrt{2+a_n} $ che ha come unica soluzione positiva 2.

Rilancio..dimostrare che:
$ 2^m\sqrt{2-\sqrt{2+\dots}} $ dove sono presenti m radici va a pi greco per m che va ad infinito (da cui discende facilmente la vostra tesi).
"Tu che lo vendi cosa ti compri di migliore?"

Membro dell' "Associazione non dimenticatevi dei nanetti! "
Membro dell'EATO.

gippo
Messaggi: 58
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Tours (Francia)

Messaggio da gippo » 01 ago 2007, 14:39

enomis_costa88 ha scritto:Bè si può sempre dire che i è una delle due radici due esime del numero complesso -1
Certamente :-)
enomis_costa88 ha scritto:1) la successione è banalmente monotona crescente.
2) E' limitata superiormente (si vede per induzione che se a_n è più piccolo di 2 allora anche a_{n+1} lo sarà poichè è una radice di qualcosa più piccolo di 4).
Ed è anche banalmente limitata inferiormente.
Quindi la successione ha un limite finito.

Bè una volta vista che questa successione è carina (e che la funzione "passo successivo" è continua)..
basta porre $ a_{n+1}=a_n=\sqrt{2+a_n} $ che ha come unica soluzione positiva 2.
Perfetto! Una curiosità : se sei dell'88 probabilmente hai appena finito le superiori...mi chiedevo se le serie e le successioni [adesso] fanno parte del programma. Io le ho fatte al primo anno di università.
enomis_costa88 ha scritto: Rilancio..dimostrare che:
$ 2^m\sqrt{2-\sqrt{2+\dots}} $ dove sono presenti m radici va a pi greco per m che va ad infinito (da cui discende facilmente la vostra tesi).
Putroppo in questo momento sono pagato per lavorare :-), ma se ho un po' di tempo provero` ad attaccare il tuo problema!

Ciao

Giuliano(80....)

Avatar utente
enomis_costa88
Messaggi: 537
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Brescia

Messaggio da enomis_costa88 » 01 ago 2007, 15:03

gippo ha scritto:Una curiosità : se sei dell'88 probabilmente hai appena finito le superiori...mi chiedevo se le serie e le successioni [adesso] fanno parte del programma. Io le ho fatte al primo anno di università.
Si appena finite, so per certo che esistono delle scuole in cui si fanno e suppongo proprio facciano parte del programma (anche se purtroppo spesso, come è capitato nella mia classe, si saltano per motivi di tempo).
"Tu che lo vendi cosa ti compri di migliore?"

Membro dell' "Associazione non dimenticatevi dei nanetti! "
Membro dell'EATO.

Jacobi
Messaggi: 227
Iscritto il: 08 mar 2007, 16:29

Messaggio da Jacobi » 02 ago 2007, 12:21

salva90 ha scritto:
e comunque così facendo perdi il caso x=1, achtung eh!

ACHTUNG: $ 1^{1^{1^{...}}} $ non e' 1 in quanto se lo fosse potremmo scrivere:

$ 1^{1^{1^{...}}} = 1 = 1^n \Rightarrow 1^{1^{...}} = n $ (indeterminato)
MIND TORNA CON NOI

Rispondi