Banalità di Stato 2006

Giochini matematici elementari ma non olimpici.
Avatar utente
Ani-sama
Messaggi: 418
Iscritto il: 19 feb 2006, 21:38
Località: Hasselt
Contatta:

Banalità di Stato 2006

Messaggio da Ani-sama » 22 giu 2006, 20:42

Direttamente dalla II prova (che quest'anno mi è parsa davvero, ma davvero triviale), ecco due quesiti!

1) Si narra che l’inventore del gioco degli scacchi chiedesse di essere compensato con chicchi di grano: un chicco sulla prima casella, due sulla seconda, quattro sulla terza e così via, sempre raddoppiando il numero dei chicchi, fino alla 64a casella. Assumendo che $ $1000$ $ chicchi pesino circa $ $38\ \mathrm{g}$ $, calcola il peso in tonnellate della quantità di grano pretesa dall’inventore.

9) [questo qua è davvero idiota] Della funzione $ $f(x)$ $ si sa che è derivabile e diversa da zero in ogni punto del suo dominio e, ancora, che: $ $f'(x)= f (x)$ $ e $ $f (0)= 1$ $. Puoi determinare $ $f (x)$ $?


P. S.

Quest'anno c'era anche un classico problema... ve lo metto anche se non è molto ricreativo:

5) Si dimostri che la somma dei coefficienti dello sviluppo di $ ${(a + b)}^n$ $ è uguale a $ $2^n$ $ per ogni $ $n \in N$ $ .
...

darkcrystal
Messaggi: 695
Iscritto il: 14 set 2005, 11:39
Località: Chiavari

Messaggio da darkcrystal » 22 giu 2006, 21:52

5) a parte il fatto che basterebbe usare Newton e la somma dei binomiali, è più carino dire che quando a=b=1 il valore dell'espressione è proprio la somma dei coefficienti, in quanto ogni coefficiente moltiplica un uno. Perciò la somma dei coefficienti è proprio $ (1+1)^n=2^n $

9) Sarà forse $ e^x $?
"Solo due cose sono infinite: l'universo e la stupidità dell'uomo, e non sono tanto sicuro della prima" - Einstein

Membro dell'EATO

Poeth
Messaggi: 37
Iscritto il: 17 giu 2006, 14:46

Messaggio da Poeth » 22 giu 2006, 22:59

darkcrystal ha scritto:9) Sarà forse $ e^x $?
No, ma cosa vai a pensare :lol:

Cmq l'1 sarebbe stato più carino se lo avessero impostato in modo simile al quesito della sessione suppletiva 2001.

OT: Riuscite a credere che una tipa di classe mia si è calcolata$ [tex] $2^64$ $ a mano?!?!?!? (e non nel senso che è veloce a fare i calcoli...)/OT[/tex]
Ecco le prime buffe formule che ho scoperto.... ne sono fierissimo anche se sono inutili :D

[tex]\pi \simeq 10*(\sqrt{2} - 1) -1

e\pi(\pi+e) \simeq (\frac{10}{\sqrt2})^{2}

2*phi \simeq 1+ \sqrt{\frac{e\pi(e+\pi)}{10}}
[/tex]

piever
Messaggi: 645
Iscritto il: 18 feb 2006, 13:15
Località: Roma
Contatta:

Messaggio da piever » 23 giu 2006, 01:17

darkcrystal ha scritto:5) a parte il fatto che basterebbe usare Newton e la somma dei binomiali, è più carino dire che quando a=b=1 il valore dell'espressione è proprio la somma dei coefficienti, in quanto ogni coefficiente moltiplica un uno. Perciò la somma dei coefficienti è proprio $ (1+1)^n=2^n $
Anche con il triangolo di tartaglia ci vogliono circa 2 secondi: se la prima riga è 2, e ogni riga si raddoppia, quanto potrà mai valere l'n-sima riga?

Ma, per curiosità, qual è il senso del primo esercizio? In cosa consiste l'abilità del solutore? E soprattutto: erano ammesse le calcolatrici?
"Sei la Barbara della situazione!" (Tap)

Avatar utente
Ani-sama
Messaggi: 418
Iscritto il: 19 feb 2006, 21:38
Località: Hasselt
Contatta:

Messaggio da Ani-sama » 23 giu 2006, 07:50

Nel primo quesito la cosa carina è individuare l'espressione della somma fino all'n-esimo termine della successione che salta fuori... procedimento penso noto a chiunque in questo forum :)

Ah, e poi... erano ammesse solo calcolatrici "non programmabili" (anche perché senza calcolatrice è un po' una rogna calcolare le approssimazioni...)
...

snagg
Messaggi: 70
Iscritto il: 14 mar 2005, 19:38
Contatta:

Messaggio da snagg » 23 giu 2006, 09:38

si anche con tartaglia viene carina l'induzione

Avatar utente
dimpim
Messaggi: 300
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da dimpim » 23 giu 2006, 14:11

Per il peso in tonnellate del primo quesito ho lasciato la formula così com'era: $ $ \frac{0,038(2^{64}-1)}{10^6} $ $.
Voi come avete fatto?

Avatar utente
hydro
Messaggi: 216
Iscritto il: 07 apr 2005, 17:11
Località: milano

Messaggio da hydro » 23 giu 2006, 16:39

anch'io l'ho lasciato così perchè non avevo proprio nessuna voglia di fare i calcoli...
devo comunque dire che il 5) almeno era un po' più divertente della sconcertante facilità dei 2 problemi (io l'ho dimostrato per induzione tra l'altro, perdendoci un sacco di tempo).
Il 9) in sè era banale, ma teoricamente non andrebbe risolto con l'equazione differenziale
$ \displaystyle \frac{dy}{dx}=y $
$ f(0)=1 $
???

cioè, mi sembra che sia l'unica soluzione "rigorosa"...

pic88
Messaggi: 741
Iscritto il: 16 apr 2006, 11:34
Località: La terra, il cui produr di rose, le dié piacevol nome in greche voci...

Messaggio da pic88 » 23 giu 2006, 17:18

hydro ha scritto:
Il 9) in sè era banale, ma teoricamente non andrebbe risolto con l'equazione differenziale
$ \displaystyle \frac{dy}{dx}=y $
$ f(0)=1 $
???

cioè, mi sembra che sia l'unica soluzione "rigorosa"...
ma c'è qualcuno che l'ha risolto in altri modi?

Avatar utente
hydro
Messaggi: 216
Iscritto il: 07 apr 2005, 17:11
Località: milano

Messaggio da hydro » 23 giu 2006, 18:05

non so, però la mia prof (e anche in altre classi) ad esempio ci ha detto che non avremmo dovuto per forza giustificare il fatto che $ e^x $ fosse l'unica funzione che andava bene. Nel senso che sarebbe bastatol rispondere "$ e^x $ soddisfa le condizioni richieste", punto e basta. (Il che è abbastanza inicativo considerando che il mio liceo è uno degli scientifici più rinomati a Milano, ed in più io faccio anche la sezione sperimentale). Non dico che uno studente qualunque di 5 liceo debba sapere risolvere un'equazione differenziale (anche se banale come questa), ma allora al ministero non hanno le idee molto chiare sul tipo di quesiti che devono dare...

Avatar utente
dimpim
Messaggi: 300
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da dimpim » 24 giu 2006, 08:20

hydro ha scritto:ma allora al ministero non hanno le idee molto chiare sul tipo di quesiti che devono dare...
Concordo; noi le equazioni differenziali le abbiamo solamente accennate nel programma di fisica (fase di carica e scarica dei circuiti RC, etc)...
Comunque mi sono limitato anch'io a scrivere: "poiché la funzione non è mai pari a zero, l'unica funzione la cui derivata sia uguale alla funzione di partenza è: $ $ f(x) = e^x $ $". Poi ero partito col dimostrare la formula di derivazione di $ $ e^x $ $ ma mi sono piantato a metà... :?

Ah, per curiosità: qualcuno di voi ha fatto il quesito 2, sui solidi platonici?

pic88
Messaggi: 741
Iscritto il: 16 apr 2006, 11:34
Località: La terra, il cui produr di rose, le dié piacevol nome in greche voci...

Messaggio da pic88 » 24 giu 2006, 11:16

"poiché la funzione non è mai pari a zero, l'unica funzione la cui derivata sia uguale alla funzione di partenza è: $ e^x $"
in realtà sono tutte le funzioni del tipo

$ ke^x $ con $ k $ costante. poi mettendo $ f(0)=1 $ trovi $ k=1 $

metto qui la differenziale giusto per esercizio.
$ y'=y $

$ \frac{y'}{y}=1 $

$ \displaystyle \[ \begin{gathered} \int {\frac{{{\raise0.7ex\hbox{${dy}$} \!\mathord{\left/ {\vphantom {{dy} {dx}}}\right.\kern-\nulldelimiterspace} \!\lower0.7ex\hbox{${dx}$}}}} {y}dx = \int {dx} } \hfill \\ \ln |y| = x + c \hfill \\ y = \pm e^{x + c} = \pm e^c e^x = ke^x \hfill \\ ke^0 = 1 \hfill \\ k = 1 \hfill \\ y = e^x \hfill \\ \end{gathered} \] $

Ah, per curiosità: qualcuno di voi ha fatto il quesito 2, sui solidi platonici?
posto una dimostrazione:
in un solido platonico a facce n-agonali, da tutti i vertici devono uscire k facce (e comunque almeno 3). vediamo che valori possono assumere n e k.
La somma degli angoli delle facce uscenti da uno stesso vertice deve essere minore di 360°, e sarà uguale a a*k, dove a è l'angolo di un poligono regolare a n lati.
si ha,
1) per n=3:
a=60°
ka<360 per k=3,4,5 per tali valori abbiamo tetraedro, ottaedro e icosaedro
2) per n=4:
a=90°
ka<360 solo per k=3 e si ottiene il cubo
3) per n=5
a= 108°
ka<360 solo per k=3 (dodecaedro).

ciao

EvaristeG
Site Admin
Messaggi: 4756
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Roma
Contatta:

Messaggio da EvaristeG » 24 giu 2006, 16:03

Beh, senza conoscere la teoria delle equazioni differenziali, ma intuendo che l'unica soluzione è l'esponenziale si poteva procedere così :
consideriamo la funzione $ g(x)=e^{-x}f(x) $ dove f è una funzione che soddisfa alle ipotesi del teorema; allora $ g'(x)=-e^{-x}f(x)+e^{-x}f'(x)=e^{-x}(-f(x)+f(x))=0 $.
Quindi g'(x) è identicamente nulla (nell'ipotesi che f sia continua e derivabile con continuità su tutti i reali), quindi $ g(x)\equiv k $ con k reale e da ciò $ f(x)=ke^{x} $.
Poi k si determina con la condizione in 0.

Avatar utente
evans
Messaggi: 115
Iscritto il: 21 nov 2005, 20:52

Messaggio da evans » 25 giu 2006, 19:17

Beh oltre al quesito su Finetti che era simpatico, questo esame è stato una noia non ho visto l'ora di consegnare!
Ah, per quelli del PNI, come avete risolto l'area al secondo punto? io ho ruotato gli assi e un banale integrale! Mi piacerebbero però altre soluzioni(ad esempio ho pensato di usare il teorema di Archimede e sottrare due triangoli mistilinei).

Avatar utente
Ani-sama
Messaggi: 418
Iscritto il: 19 feb 2006, 21:38
Località: Hasselt
Contatta:

Messaggio da Ani-sama » 25 giu 2006, 20:44

evans ha scritto:Beh oltre al quesito su Finetti che era simpatico, questo esame è stato una noia non ho visto l'ora di consegnare!
Ah, per quelli del PNI, come avete risolto l'area al secondo punto? io ho ruotato gli assi e un banale integrale! Mi piacerebbero però altre soluzioni(ad esempio ho pensato di usare il teorema di Archimede e sottrare due triangoli mistilinei).
Sì, l'area del II punto era facile, le due funzioni si intersecavano proprio in $ $y=-1$ $, poi facendo la rotazione (equivalente peraltro ad una simmetria assiale di bisettrice di II / IV quadrante) ti ritrovavi le due funzioni inverse cambiate di segno; il resto era un integrale immediato :D .
...

Rispondi