matematica olimpica(?)

[frengo]

Non sapevo dove postarlo quindi lo posto qui:

The professor tells Peter the product of two positive integers and Sam their sum. At first, nobody of them knows the number of the other.

One of them says: You can't possibly guess my number.
Then the other says: You are wrong, the number is 136.

Which number did the professor tell them respectively? Give reasons for your claim.

Traduzione:

Il professore dice a Pietro il prodotto di due interi positivi e a Samuele la loro somma. Nessuno dei due conosce il numero dell'altro.
Uno dei due dice: E' impossibile che tu indovini il mio numero.
Allora l'altro dice: Ti stai sbagliando, il numero è 136.
Quali sono i due numeri che il professore ha detto ai due ragazzi?Dai un'esauriente spiegazione.

ciao ciao

[piever]

Samuel dice che Peter non può sapere il suo numero: infatti Peter potrebbe sapere con certezza il numero dell'altro solo se il suo numero fosse un numero primo, e nessuna coppia di numeri, che dà come somma 136, dà come prodotto un numero primo. Il numero di Peter è 135 (135*1): infatti Peter, sentendo che l'altro dice che lui non ha i mezzi per capire il suo numero si accorge che il numero di Samuel non può essere né 24 né 32 né 48 (queste sono le somme delle possibili coppie di numeri che compongono 135). Infatti se il professore avesse detto a Samuel uno di questi numeri, Samuel non avrebbe potuto escludere che Peter sapesse il suo numero. Infatti se a Samuel fosse stato detto 24 e a Peter 23, Peter avrebbe saputo con certezza che la somma di 2 numeri che moltiplicati danno 23 (23*1) è 24. Quindi, per esclusione Peter risponde a Samuel che il suo numero è 136.

Bell'indovinello!!! Dove te lo sei procurato?

[piever]

Sta girando un'altra versione dello stesso indovinello:
Il professor Somma ed il professor Prodotto sono due logici perfetti, capaci di dedurre quasi istantaneamente tutte le verità da qualunque sistema di assiomi.
Un giorno uno studente incontra i due professori al bar dell'università e gli chiede: "Mi permettete una domanda?"
"Certo!"
"Ho scelto due numeri interi compresi tra 2 e 100 e questa è la loro somma."
Lo studente dà un foglio al prof. Somma. L'altro professore non vede cosa c'è scritto.
Lo studente aggiunge: "E questo è il loro prodotto."
Dà un altro foglio al professor Prodotto. Il prof. Somma, naturalmente, non vede cosa c'è scritto.
"Sapete dirmi quali numeri ho pensato?"
Prof. Prodotto: "Non sono in grado di determinarli."
Prof. Somma: "Io lo sapevo che tu non eri in grado di determinarli."
Prof. Prodotto: "Beh, se dici così allora io so che numeri sono!"
Prof. Somma: "Ora lo so anchio!"

E dicono in coro i due numeri che ha pensato lo studente.
Lo studente indietreggia con gli occhi spalancati e fugge dal bar.

Quali sono i due numeri?

[fph]

Sta girando un'altra versione dello stesso indovinello:
Il professor Somma ed il professor Prodotto sono due logici perfetti, capaci di dedurre quasi istantaneamente tutte le verità da qualunque sistema di assiomi.
Un giorno uno studente incontra i due professori al bar dell'università e gli chiede: "Mi permettete una domanda?"
"Certo!"

Impossibile! Se sono due "logici perfetti", nessuno dei due avrebbe risposto "Certo!" alla domanda "Mi permettete una domanda?": avrebbero entrambi risposto "Io te la permetto, il mio collega non so".

[piever]

Grazie per la precisazione, fph, lo farò sapere alla persona che mi ha fatto quest'indovinello (non c'è neanche un emoticon per descrivere il mio attuale stato d'animo).
Devo fare un'aggiunta: ho trovato una soluzione possibile, ma non so se ce ne sono altre. Se qualcuno ha neuroni da mandare al macero, li utilizzerebbe bene o quantomeno altruisticamente dimostrando che c'è un'unica soluzione (dal testo del quesito si presupporrebbe che ce ne sia una sola).

S.V.B.E.E.Q.U.

P.S. Se dovete fare precisazioni o obiezioni come quella di fph, scrivetele su un foglio, mettete il foglio in una bottiglia e gettate la bottiglia nell'oceano Atlantico: riceverete risposta quanto prima.

[edriv]

Ora non pretendo di battere i professoroni Somma e Prodotto, ma il problema sembra dare qualche problema...

Io ho pensato così: (i numeri sono n ed m)
- Prodotto può stabilire i due numeri soltanto se (e anche se, visto che è super
intelligente) sono entrambi primi (altrimenti avrebbe più coppie di divisori da considerare).
- Quindi Somma sa che i due numeri non sono primi. Come può saperlo? Ha scoperto che la somma non è ottenibile come somma di numeri primi.
- Quali sono questi numeri, da 2 a 100?
Sembrano essere:
11,17,23,27,29,35,37,41,57,51,53,57,59,65,67,71,77,79,83,87,97.
- Ora Prodotto sa anche che la somma dei due numeri (fattori del suo prodotto) è uno di quei numeri qua sopra. Visto che Prodotto ha sempre ragione, che la possibilità sia una sola. Quindi, per qualsiasi scomposizione ab = nm, solo un a+b è fra i numeri scritti sopra. Questo ora lo sa anche Somma.
- Somma sa anche questo ed indovina i numeri. Quindi tra tutti i numeri la cui somma è [il numero di Somma], esistono solo due per cui vale la proprietà sopra.

Bisogna scoprire due numeri $ 2 \le n,m \le 100 $ tali che:
* Uno dei due è composto
* La loro somma non è ottenibile come somma di numeri primi
* $ 2 \le a,b \le 100 and a \cdot b = n \cdot m \Rightarrow $ a+b è esprimibile come somma di numeri primi. {a,b} diverso da {n,m}
* $ c+d = n+m \Rightarrow $, ogni coppia (c,d) il cui prodotto è ab è tale che c+d è esprimibile come somma di numeri primi. c,d è diverso da n,m.

Ora non ho nè idea nè tempo di proseguire... ma soprattutto non ho idea. Il tempo lo potrei anche trovare.

[piever]

* $ c+d = n+m \Rightarrow $, ogni coppia (c,d) il cui prodotto è ab è tale che c+d è esprimibile come somma di numeri primi. c,d è diverso da n,m.

Questo passaggio mi convince poco: se c+d=n+m, allora c+d non sarà mai esprimibile come somma di numeri primi

[mykelyk]

Io la vedo così:

0)Studente da i foglietti:
-Prodotto ha un numero compreso fra 4 e 10000
-Prodotto ha un numero non primo
-Somma ha un numero compreso fra 4 e 200

1)Parla Prodotto: Io non so
-Vuol dire che in mano ha un numero:
--1)Non rapresentabile come primo*primo
--2)Non rappresentabile come primo^3
--3)Scomponibile in fattori primi tutti minori di 50
--4)Tale che chiamando P1,P2,P3 ecc.. i fattori primi del numero deve esistere per ogni PN almeno un PM tali che PN*PM<100
--?

2)Parla Somma: Lo sapevo che tu non sapevi:
-Vuol dire che in mano ha un numero:
--1)Non rappresentabile come primo+primo
--2)Non rappresentabile come 3*primo
--?

3)Parla Prodotto:Allora so:
-Vuol dire che in mano ha un numero:
--1)Scomposto in fattori primi, combinati in tutti i modi possibili, c'è solo un modo che formino un numero accettabile da somma.

4)Parla Somma: Adesso lo so anch'io:
1N=?
2N=?

Questo è tosto
Se vi viene in mente qualcosa ditelo.

[piever]

Sei sulla buona strada.
Allora:

Non rappresentabile come primo^3

A questo non ci avevo pensato, ma è pressoché ininfluente (se una somma è composta da un primo e il suo quadrato è per forza un numero pari e tutti i numeri pari inferiori a 200 sono ottenibili come somma di due primi, correggimi se sbaglio).

4)Parla Somma: Adesso lo so anch'io:
1N=?
2N=?

Allora, per aiutarti e per limitare il campo di indagine: c'è una soluzione in cui la somma è inferiore a 50 (l'unica che ho trovato).
Quel che mi preme è verificare che esista un'unica soluzione possibile.

[piever]

Però c'è qualcosa che mi devi spiegare:

--3)Scomponibile in fattori primi tutti minori di 50
--4)Tale che chiamando P1,P2,P3 ecc.. i fattori primi del numero deve esistere per ogni PN almeno un PM tali che PN*PM<100

I due numeri sono inferiori a 100, non la loro somma o il loro prodotto che possono arrivare, come tu stesso hai detto, a 200 o 10000.

--2)Non rappresentabile come 3*primo

Prendiamo un primo P.
Tu stai sostenendo che $ P+P^2=3P $?????????????????????

[mykelyk]

Però c'è qualcosa che mi devi spiegare:

--3)Scomponibile in fattori primi tutti minori di 50
--4)Tale che chiamando P1,P2,P3 ecc.. i fattori primi del numero deve esistere per ogni PN almeno un PM tali che PN*PM<100

I due numeri sono inferiori a 100, non la loro somma o il loro prodotto che possono arrivare, come tu stesso hai detto, a 200 o 10000.

--2)Non rappresentabile come 3*primo

Prendiamo un primo P.
Tu stai sostenendo che $ P+P^2=3P $?????????????????????

Faccio un esempio supponiamo che il prodotto sia 332
Scomposto in primi diventa 83*2*2
Il prof Prodotto capisce che i numeri sono 83 e 4, perchè 166 e 2 non sono accettabili, da ciò il prodotto deve essere:
--3)Scomponibile in fattori primi tutti minori di 50
--4)Tale che chiamando P1,P2,P3 ecc.. i fattori primi del numero deve esistere per ogni PN almeno un PM tali che PN*PM<100

Se il prodotto non può essere Primo^3, la somma non può essere 3*Primo, altrimenti Somma non avrebbe detto la sua frase.

[piever]

Se il prodotto non può essere Primo^3, la somma non può essere 3*Primo, altrimenti Somma non avrebbe detto la sua frase.

Volevo farti notare che se il prodotto fosse $ 125 $, cioè $ 5^3 $, i numeri sarebbero $ 5 $ e $ 25 $ e la somma sarebbe 30 cioè $ 5^2+5 $ e non $ 5*3 $.
Inoltre non è specificato che i due professori sappiano che i due numeri devono essere compresi tra due e cento.

[Alex89]

La traccia specifica che i due numeri sono compresi tra 2 e 100

"Ho scelto due numeri interi compresi tra 2 e 100"

[Alex89]

Parla Prodotto: Non so.

Quindi ha un numero che non è pari al prodotto tra due primi.

Parla Somma: So che tu non sai.

Quindi ha un numero che non si può rappresentare come primo + primo, ossia ha un numero non pari che non è uguale a primo + 2 (poichè tutti i primi sono dispari tranne 2, il numero di Somma, che è dispari, per non essere pari a primo + primo non deve essere uguale a primo + 2).

Parla Prodotto: Allora so.

Ha notato che, tra tutte le combinazioni possibili di fattori, solo una forma una somma accettabile per il prof. Somma (non uguale a primo + primo).

Parla Somma: Ora so anche io.

Ha notato che, tra tutte le possibili combinazioni di addendi, solo una forma un prodotto che consente all'altro professore di fare il suddetto ragionamento ( ossia forma un prodotto che ha più combinazioni di fattori ma tra queste solo una da come somma un numero non pari e non uguale a primo + 2.)



Per la soluzione di piever i valori della somma possono essere i seguenti:

11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47.

Sto esaminando tutte le combinazioni ( che sono 120!!!)

[Alex89]

(Probabile) soluzione:
Somma 17
Prodotto 52

Numeri 13 e 4.

Parla Prodotto che dice di non sapere quali siano i numeri perchè deve analizzare più combinazioni di fattori (52=13*2*2).

Parla Somma che dice di sapere che l'altro non sappia perchè ha in mano un numero non rappresentabile come primo + primo o come primo + 2.

Parla Prodotto che dice che dall'affermazione del collega ha ricavato la coppia di numeri. Infatti ha capito che Somma ha un numero non rappresentabile come primo + primo , quindi ha un numero dispari non rappresentabile come primo + 2. Tra le varie combinazioni del numero 52 (13*4, 2*26) solo una produce come somma un numero non rappresentabile come primo + primo.

Parla Somma che dice che dall'affermazione di Prodotto anche lui ha ricavato la coppia di numeri. Infatti, tra le varie possibili somme di 17, che ora scrivo, si possono avere i seguenti prodotti:

1)15+2=17 15*2=2*3*5 che da come somme differenti 17, 13 e 11.

2)14+3=17 14*3=2*7*3 che da come somme differenti 17, 23 e 13.

3)13+4=17 13*4=13*2*2 che da come somme differenti 17 e 28.

4)12+5=17 12*5=3*2*2*5 che da come somme differenti 17, 32, 23 e 19.

5)11+6=17 11*6=11*2*3 che da come somme differenti 17, 35 e 25.

6)10+7=17 10*7=2*5*7 che da come somme differenti 17, 37 e 19.

7)9+8=17 9*8=3*3*2*2*2 che da come somme differenti 17, 27, 22, 38.

(Non ho scritto tutte le somme possibili ma solo quelle che potrebbero interessarci)

Tra queste solo la numero 3 da un prodotto che produce somme tali che solo una di quelle non sia rappresentabili come primo + primo.

Ora vediamo perchè le altre non sono accettabili:

1)11 non è uguale a primo + 2.

2)23 non è uguale a primo + 2.

4)23 non è uguale a primo + 2.

5)35 non è uguale a primo + 2.

6)37 non è uguale a primo + 2.

7)27 non è uguale a primo + 2.

In tutti gli altri casi Somma ha quindi 2 o più somme non rappresentabili come primo + primo e quindi non potrebbe dire di sapere.

Ce ne saranno altre? Chissà...