Il paradosso di chi vuol essere milionario

Giochini matematici elementari ma non olimpici.
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psion_metacreativo
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Il paradosso di chi vuol essere milionario

Messaggio da psion_metacreativo » 07 feb 2006, 17:17

L'altro giorno stavo svagandomi qualche minuto dallo studio guardando un po di tv quando mi è capitato di vedere il celeberrimo programma del dottor Scotti. C'era un tizio che su una domanda (tra l'altro abbastanza facile) ha usato l'aiuto del 50%. Ora per chi come me non fosse pratico di quella trasmissione sappia che il gioco consiste in quiz a domande. Per ogni domanda vengono proposte 4 risposte di cui solo 1 è esatta. Scopo del gioco rispondere correttamente fino a un massimo di 15 domande. Il gioco prevede qualche aiuto, in particolare l'aiuto del 50%: Il computer elimina due risposte erronee e il concorrente deve stabilire tra le due alternative rimaste quale è corretta. Allora dicevamo che appunto sto tizio ha usato questo aiuto e io ho iniziato a riflettere se fossi nei suoi panni quale strategia avrei usato:

Giuseppe (d'ora in poi G) deve scegliere tra 4 opzioni diremo A,B,C,D. Poichè ignora completamente ogni informazione esterna riguardo alla domanda posta le scelte sono tutte equiprobabili ma una sola è giusta. Mettiamo senza perdere di generalità che mentalmente G scelga un'opzione prima che si avvalga dell'aiuto del computer. Allora si prestano due casi:
1)G sceglie mentalmente un'opzione che il computer rivela essere sbagliata e allora entrambe le opzioni rimaste hanno effettivamente il 50% di essere esatte;
2)G sceglie mentalmente un'opzione che il computer non elimina. Analizziamo meglio questo caso:
Supponiamo senza perdere di generalità che G scelga A, usufruisce dell'aiuto e il computer elimina C e D. Allora la probabilità che B sia giusta è il 75% in quanto la probabilità che A sia giusta all'inizio è il 25% dunque che la risposta giusta si trovi nelle'insieme formato da B,C,D è 75%. Dunque poichè il computer elimina C e D nell'insieme rimane B che quindi G sceglie fiducioso che sia corretta al 75%.
Viceversa se mentalmente G avesse scelto B e il computer avesse eliminato C e D B sarebbe giusta solo al 25% sempre per quanto detto prima A sarebbe il 75%.
Come diavolo è possibile che la probabilità che una risposta sia giusta dipende dalle sinapsi dei neuroni di G? Immagino che ci sia un errore, dov'è?

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Bolzo88
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Re: Il paradosso di chi vuol essere milionario

Messaggio da Bolzo88 » 07 feb 2006, 17:38

psion_metacreativo ha scritto:Come diavolo è possibile che la probabilità che una risposta sia giusta dipende dalle sinapsi dei neuroni di G? Immagino che ci sia un errore, dov'è?
psion_metacreativo ha scritto:Supponiamo senza perdere di generalità che G scelga A, usufruisce dell'aiuto e il computer elimina C e D. Allora la probabilità che B sia giusta è il 75% in quanto la probabilità che A sia giusta all'inizio è il 25% dunque che la risposta giusta si trovi nelle'insieme formato da B,C,D è 75%. Dunque poichè il computer elimina C e D nell'insieme rimane B che quindi G sceglie fiducioso che sia corretta al 75%.
La chiave è nel fatto che le risposte sono tutte equiprobabili: sapendo che sono tutte equiprobabili e che siano quattro deduci che la probabilità che una di esse sia vera è del 25%: all'inizio la probabilità che A sia vera è del 25%, in quanto ci sono quattro soluzioni equiprobabili e 100/4=25.

Dopo che il computer ha eliminato due risposte rimangono due risposte possibili, sempre equiprobabili. E' necessario ricalcolarsi la probabilità di ognuna: ognuna ha una probabilità del 50% in quanto 100/2=50. E tutto questo indipendentemente dai ragionamenti di G.

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psion_metacreativo
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Re: Il paradosso di chi vuol essere milionario

Messaggio da psion_metacreativo » 07 feb 2006, 18:01

Il punto è proprio questo:
Bolzo88 ha scritto: Dopo che il computer ha eliminato due risposte rimangono due risposte possibili, sempre equiprobabili.
Secondo me dopo che il computer ha eliminato C e D, G ha informazioni nuove che rendono le risposte non più tutte equiprobabili nell'insieme degli eventi possibili, no? Anche se probabilmente il mio cortocircuito nasce dal fatto che non ho seguito alcun corso di probabilità e non conosco le definizioni rigorose a riguardo.

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dimpim
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Messaggio da dimpim » 07 feb 2006, 18:58

Di probabilità so poco o nulla anch'io, ma vediamo se riesco a fare un ragionamento coerente.

Supponiamo che G scelga all'inizio A. A ha quindi il 25% di probabilità di essere la risposta esatta. Il computer elimina C e D. G capisce dunque che A è effettivamente una buona risposta, più di quanto lo era in precedenza. Di quanto effettivamente? Del 25% in più. Ecco quindi che, come dice Bolzo88, le 2 risposte possibili, A e B, sono ancora equiprobabili - non rispetto alla situazione iniziale (25% ciascuna), ma rispetto a quella attuale (50%).

Spero di non aver detto baggianate, e di essere stato un po' d'aiuto.

febiz2004
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Messaggio da febiz2004 » 07 feb 2006, 20:26

Ma non è come il gioco delle 3 scatole...e del pupazzo gnappo??In questo caso le scatole sono 4...
A,B,C,D
Io ho la scatola A, e ne tolgo 2 tra B,C e D quindi la scatola che ho scelto ha la probabilità di 1/4 di avere il pupazzo gnappo dentro mentre quella che mi è rimasta dal 50 e 50 di 3/4 :D:D. Quindi mi conviene cambiare se voglio fare una strategia gnappesca... Poi dipende se ho fatto una scelta plausibile o no... Lo so che l'esempio è stupido però per studiare queste cose all'uni per farsele piacere bisogna fare anche così... :D:D Buona probabilità

**Per chi gli interessasse il giochino delle tre scatole viene definito come il paradosso di Monty Hall...

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post233
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Messaggio da post233 » 07 feb 2006, 20:51

La situazione è diversa da quella descritta nel paradosso di Monty Hall, in quanto il computer non ha eliminato 2 risposte scegliendole fra B,C,D, ma fra A,B,C,D: in questo caso il computer avrebbe potuto benissimo eliminare la risposta A, cosa proibita invece nel gioco delle tre scatole: poiché non l'ha fatto - e per quanto ne sappiamo non aveva alcun motivo per "risparmiare" l'opzione del concorrente - ne consegue che A e B siano equiprobabili.
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EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 08 feb 2006, 01:24

State ragionando su due piani diversi :
chi chiama in causa (correttamente o meno) il famoso giochino con le 4 scatole (io lo conoscevo con le tre porte, ma cmq ...) suppone di essere in una situazione in cui la scelta del concorrente è puramente casuale (la prima scelta, quella prima dell'eliminazione di due possibilità)
dall'altra parte, è indubitabile che l'esclusione di alcune risposte come false può indirizzare più o meno direttamente il concorrente a propendere per una delle due rimanenti, a seguito di ragionamenti logici legati alla particolare domanda e alle alternative fornite.
Nel primo caso si possono fare tutti i conti che si vuole avendo come presupposto l'equiprobabilità delle scelte, nel secondo bisogna considerare scelte che non sono più equiprobabili, almeno nella testa di Giuseppe, in quanto lui si basa su ragionamenti e ricordi, la cu attendibilità potrebbe essere a sua volta valutata con una percentuale e quindi rimessa in gioco in termini di probabilità di errore nell'alterare le probabilità delle 4 risposte in base a quei ragionamenti.

Se non mi sbaglio c'è qualche teoria che prevede l'esistenza di fonti di informazione (con una certa probabilità di errore) che alterano, agli occhi di chi deve compiere la scelta, la situazione ideale di equiprobabilità, ma non penso che sia il caso...

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dimpim
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Messaggio da dimpim » 08 feb 2006, 14:08

E se invece considerassimo una domanda che non fa riferimento ad alcuna conoscenza di Giuseppe? Cioè, una domanda che non si riferisca ad alcun ricordo precedente? (Tipo, non so: mettiamo che Giuseppe non sappia nulla di musica classica e gli venga chiesto quanti concerti ha scritto Mozart).

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psion_metacreativo
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Re: Il paradosso di chi vuol essere milionario

Messaggio da psion_metacreativo » 08 feb 2006, 14:44

dimpim guarda che siamo esattamente nell'ipotesi cHe G non sappia niente della domanda guarda cosa ho scritto nel testo iniziale:
psion_metacreativo ha scritto: Giuseppe (d'ora in poi G) deve scegliere tra 4 opzioni diremo A,B,C,D. Poichè ignora completamente ogni informazione esterna riguardo alla domanda posta le scelte sono tutte equiprobabili ma una sola è giusta.

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dimpim
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Messaggio da dimpim » 08 feb 2006, 17:59

Ok, allora avevo capito bene.
È solo che EvaristeG aveva parlato di:
EvaristeG ha scritto:qualche teoria che prevede l'esistenza di fonti di informazione (con una certa probabilità di errore) che alterano, agli occhi di chi deve compiere la scelta, la situazione ideale di equiprobabilità
per cui volevo solo accertarmi che stessimo considerando la stessa situazione.

EvaristeG
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Re: Il paradosso di chi vuol essere milionario

Messaggio da EvaristeG » 08 feb 2006, 18:52

psion_metacreativo ha scritto: Secondo me dopo che il computer ha eliminato C e D, G ha informazioni nuove che rendono le risposte non più tutte equiprobabili nell'insieme degli eventi possibili, no? Anche se probabilmente il mio cortocircuito nasce dal fatto che non ho seguito alcun corso di probabilità e non conosco le definizioni rigorose a riguardo.
Ecco chi parlava di "informazione" ... questo punto di vista non può prescindere da quello che sa Giuseppe e se lui non sa assolutamente nulla, allora la frase sopre riportata non ha senso : se non sapeva nulla della domanda prima che il computer eliminasse due risposte, non ne sa niente nemmeno ora.

Bertolo
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Messaggio da Bertolo » 24 mag 2006, 10:17

In teoria se il computer elimina C e D e rimane la risposta scelta mentalmente da G, gli converrebbe cambiare: infatti perderebbe solo nei casi in cui aveva indovinato la risposta prima dell'aiuto, quando aveva probabilità del 25% di prenderci.

In teoria però è giusto il ragionamento che vede G davanti a due risposte equiprobabili, quindi con possibilità del 50% ognuna.

In pratica si può ragionare ponendo questo dubbio moltissime volte e cambiando sempre la risposta: il numero di risposte giuste date sarebbe del 75%, infatti G sbaglierebbe solo quando aveva indovinato la risposta giusta prima dell'aiuto, quando questa aveva probabilità del 25%.

Ciò non significa che l'altra risposta sia più probabile, ma semplicemente che togliendo due risposte sbagliate in un certo senso non forniamo aiuto a G, in quanto non forniamo alcuna informazione circa la risposta giusta.

In conclusione se G ha un'idea e il computer gliela lascia gli conviene cambiare, se il computer lascia due risposte tra cui non la sua ha una probabilità del 50% di beccarci.

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Nonno Bassotto
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Messaggio da Nonno Bassotto » 24 mag 2006, 16:12

Beh, il fatto è che ci stiamo dimenticando dei casi. Se il concorrente dovesse dichiarare qual'è la sua preferenza, dopo di che usufruisce del 50 e 50, e il computer sadico lasciasse sempre la risposta del concorrente, allora sì, converrebbe cambiare. In effetti in questo caso c'è un'asimmetria.
Però nel nostro caso non è così. Nel 75% dei casi in cui la risposta giusta non è A c'è da considerare anche il caso in cui la risposta A viene scartata e il concorrente si ritrova senza sapere nulla. Mettiamo che la risposta giusta sia B. Allora ci sono tre casi equiprobabili: il computer lascia A e B, oppure B e C o infine B e D. Dunque la probabilità che B sia giusta sapendo che sono rimaste A e B è il 50%, come ci si aspetta
Il punto è proprio questo: o il computer sceglie a caso le domande da togliere, ma allora bisogna conteggiare i casi in cui A viene scartata, o il computer sa la risposta preferita di A e la lascia, e allora siamo nella situazione del gioco delle tre porte.
The best argument against democracy is a five-minute conversation with the average voter. - Winston Churchill

Poeth
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Re: Il paradosso di chi vuol essere milionario

Messaggio da Poeth » 17 giu 2006, 23:42

psion_metacreativo ha scritto:Come diavolo è possibile che la probabilità che una risposta sia giusta dipende dalle sinapsi dei neuroni di G? Immagino che ci sia un errore, dov'è?
Se ho ben capito quello che intendi, semplicemente credo che tu stia confondendo:

a) la domanda è realmente intuitivamente più credibile.
Allora cambiano le probabilità di base, in quanto anche a livello teorico se si prepara un quiz:

Chi era tra questi un grande personaggio romano?
a) Sallustio
b) Il Gran Khan
c) Eulero
d) Gauss

devi a priori considerare che Sallustio ha una probabilità di essere scelto maggiore, e semplicemente NON HA la stessa probabilità del 25% iniziale.

b) il giocatore si basa sull'istinto

Chi era tra questi un grande personaggio romano?
a) Sallustio
b) Giulio Cesare
c) Cicerone
d) Seneca

In tal caso tutti i calcoli statistici partono da un'impressione del giocatore. Le probabilità non vengono attaccate da ciò. Se io credo nella fortuna e dico che in due lanci mi escono due teste, non per questo cambiano la probabilità che succeda 1 volta su 4. :D
Nel caso nostro, se il tipo pensa che è giusta la C, la probabilità rimane del 25%. E una volta cancellate A e B, diventa del 50%, anche se lui la immagina del 75% a causa dei suoi pensieri.


Sono ragionamenti un po' paralogici ma mi pare che filino ^^
Ecco le prime buffe formule che ho scoperto.... ne sono fierissimo anche se sono inutili :D

[tex]\pi \simeq 10*(\sqrt{2} - 1) -1

e\pi(\pi+e) \simeq (\frac{10}{\sqrt2})^{2}

2*phi \simeq 1+ \sqrt{\frac{e\pi(e+\pi)}{10}}
[/tex]

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Bolzo88
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Messaggio da Bolzo88 » 25 giu 2006, 22:40

Ecco il frutto dei miei pensieri di quest'ultima mezz'ora (che poi vedo ora che è esattamente quello che diceva Nonno Bassotto).

-Monty Hall (immaginiamo il gioco con 4 porte così ci mettiamo in un gioco
simile a "chi vuol essere milionario").
Io scelgo una porta.
In 1/4 dei casi la mia porta è quella giusta, il presentatore me ne elimina
altre due, io cambio porta e perdo.
In 3/4 dei casi la porta giusta è una che non ho scelto, il presentatore mi
elimina le due sbagliate che non ho scelto, io cambio porta e vinco.
Risultato: in 1/4 dei casi cambiando porta perdo, nei rimanenti 3/4 vinco.

-"Chi vuol essere milionario".
Scelgo una risposta.
In 1/4 dei casi (o meglio, in un caso su 4 possibili) la mia risposta è
quella giusta. Il computer me ne elimina due delle altre, io cambio porta e
perdo.
In 3 casi su 4 la risposta che ho scelto è sbagliata. Il computer ne deve
eliminare due sbagliate. Per semplificare la spiegazione dò un nome alle
risposte. Supponiamo che io ho scelto la A e che quella giusta è la D. Il
computer ne deve eliminare due tra la A, la B e la C. Può eliminare la
coppia AB, la coppia AC o la coppia BC (che poi sono tutti i possibili
sottoinsiemi di due elementi in un insieme di 3 elementi, il cui numero si
calcola infatti come 3!/[2!(3-2)!]=3) Tra queste le coppie che contengono la
A sono 2.
Risultato:
in 2 casi sui 3 che stiamo considerando (e cioè in 2 casi sui 4 totali) (e
cioè 2/4 delle volte) il computer elimina la risposta che avevo scelto
mentalmente.
In 1 caso sui 3 che stiamo considerando, e cioè in un caso sui 4 totali, e
cioè 1/4 delle volte, il computer non elimina la mia risposta e quella
giusta rimane quella che non ha eliminato e che io non avevo scelto.
Conseguenza: mi conviene cambiare risposta.
Ricapitolando:
1/4 delle volte la risposta che ho scelto è quella giusta, quindi per
vincere non devo cambiare.
2/4 delle volte la risposta che ho scelto viene eliminata dal computer.
1/4 delle volte la risposta che ho scelto è sbagliata e non viene eliminata
dal computer, quindi per vincere devo cambiare.
Risultato: metà delle volte la risposta che ho scelto viene eliminata dal
computer, della metà rimanente metà delle volte la mia risposta è quella
giusta e metà delle volte è quella sbagliata. Quindi la probabilità di
vincere cambiando o non cambiando risposta è la stessa e il paradosso è
risolto.
Il ragionamento si può estendere anche a un gioco con 5,6 o più risposte e
dovrebbe tornare sempre.

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