Numeri civici

Giochini matematici elementari ma non olimpici.

Qual è la prima cifra del tuo numero civico?

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MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 18 ott 2005, 05:59

Beh teschio85, direi proprio che il discorso è esattamente lo stesso dei contatori!
Ora, anche senza arrivare a formule eplicite per la probabilità delle singole cifre, si può dare una spiegazione semplicissima del fatto che l'1 è la più probabile...

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desko
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Messaggio da desko » 18 ott 2005, 11:02

Se con "numero sui contatori" si intende quello che indica il consumo (e non un numero identificativo), allora mmi sembra una situazione differente.
L'esistenza del numero civico 55 (il mio) implica l'esistenza di tutti i dispari che lo precedono (in teoria, perch in pratica nella mia via mancano il 51 ed il 53).
Mentre che un contatore sia su 35365 non vuol dire che i numeri precedenti (e neanche un loro sottoinsieme) saranno letti sugli altri contatori.
Oppure non ho capito assolutamente nulla.
"Caso è lo pseudonimo usato da Dio quando non vuole firmare col proprio nome"

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jim
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Messaggio da jim » 18 ott 2005, 17:04

MindFlyer ha scritto: Ora, anche senza arrivare a formule eplicite per la probabilità delle singole cifre, si può dare una spiegazione semplicissima del fatto che l'1 è la più probabile...
Mah, secondo me si può ragionare in questi termini:
- qualsiasi strada contiene un numero finito di numeri civici
- sia n(S) il più grande numero civico di una generica strada S, si supponga che, in generale, una strada X contenga n(X) numeri civici (da 1 a n(X)).
- sia P1(n) la percentuale di numeri civici che iniziano per 1 tra tutti gli n numeri civici della strada, e sia Pi(n) la percentuale di numeri civici che iniziano per una data cifra i che non sia 1.
Allora, per qualsiasi n, P1(n)>=Pi(n).
Per dimostrare ciò, chiamiamo D(s) l'insieme dei numeri che in base 10 si scrivono con s cifre, così che D(1):[1,2...8,9], D(2):[10,11...,98,99], D(3):[100,101,...,998,999].
E' chiaro che per ogni D(i), i numeri che iniziano con una qualsiasi cifra x sono 1/9 del totale, indipendentemente da x.
Consideriamo quindi il numero di cifre di n(S), chiamiamolo c.
Per vedere quale sia la cifra più frequente nella strada S, non consideriamo gli insiemi D(i), con i<c, perchè sappiamo già che in quegli intervalli le "cifre d'inizio" sono equamente distribuite tra i numeri appartenenti a tali intervalli. Consideriamo solo i numeri di c cifre della strada. Sia a la prima cifra di n(S), se a=1, allora abbiamo finito, se a è diverso da 1, allora è chiaro che i numeri di c cifre che iniziano per a saranno al massimo tanti quanti i numeri di c cifre che iniziano per 1, e questo semplicemente perchè in un insieme D(i), ordinando i numeri in ordine crescente, quelli che iniziano con 1 vengono prima.

Vasya
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Messaggio da Vasya » 08 nov 2005, 19:51

Credo che quello di cui state parlando è un caso particolare della Legge di Benford (lo studioso di cui parlava teschio85 (ciao,Davide!) qualche post sopra). La legge di Benford, vallida per alcune variabili casuali dice (in parole poco formali) che la probabilità che la prima cifra della rappresentazione decimale della variabile sia $ k $ è: $ P(k) = \log_{10}(1+\frac{1}{k}) $. Una legge la qui spiegazione poco formale si basa sul fatto semplice lo stesso (credo) che ha già esposto jim (valodo per i numeri civici o per i contatori) che una grandezza prima di diventare grande (cioè prima che la sua prima cifra aumenti) dovrà "passare" per i valori più piccoli. La dimostrazione formale non credo sia così semplice, infatti anche se la legge è del 1938 una dimostrazione completa è stata data solo nel 1996 dal matematico americano Theodor Hill, prima del 1996 il problema della dimostrazione della legge di Benford era noto come "The First Digit Problem".
P.S: io abito al 17 :)

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