Il gioco dei cappellai matti

Giochini matematici elementari ma non olimpici.
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Francy88
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Il gioco dei cappellai matti

Messaggio da Francy88 » 12 set 2005, 19:00

Direttamente dal festival della letteratura di mantova (ma è un gioco matematico tranquilli): Io, Melkon, Arelt e altri ragazzi l'abbiamo impersonato per 5 giorni al festival a un evento organizzato da Giuseppe Rosolini e Giovanni Filocamo, facendo impazzire per trovare la soluzione mezzo festival. Vederlo è sicuramente molto più di effetto, comunque ve lo descrivo.

"Ci sono n prigionieri ai quali è offerta la possibilità di essere liberati se dimostrano di essere una buona squadra. Vengono messi in fila in modo che l'ultimo veda tutti gli altri, il penultimo quelli davanti a sè e così via fino al primo che non vede nessuno. Gli viene messo in testa un cappellino. I cappelli possono essere di 5 colori diversi: rosso,giallo,bianco,verde e blu* e ce ne sono almeno n per colore in modo che tutte le combinazioni siano possibili. A turno ciascuno deve rispondere alla domanda "Di che colore è il tuo cappello?" e solo uno può sbagliare. Che strategia possono adottare?"

Se mi sono scordata qualcosa Melkon e Arelt mi correggeranno. Buon lavoro! :wink:

* I colori potrebbero essere anche in numero diverso, ho messo quelli che usavamo effettivamente
Ultima modifica di Francy88 il 12 set 2005, 20:27, modificato 1 volta in totale.

karotto
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Messaggio da karotto » 12 set 2005, 20:12

Ovviamente si parte dall'ultimo al primo, vero?

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Francy88
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Messaggio da Francy88 » 12 set 2005, 20:27

sì, rispondono dall'ultimo al primo

karotto
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Messaggio da karotto » 12 set 2005, 20:45

n > 5?

Loth
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Messaggio da Loth » 12 set 2005, 20:58

Sapete dove mi hanno detto questo gioco? Ad uno stage all'universita' di Matematica a Genova.
Sapete chi mi ha detto questo gioco? Beh, si, proprio lui, Giuseppe Rosolini!

Bello, bello... :D

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Francy88
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Messaggio da Francy88 » 13 set 2005, 09:03

No non è necessariamente n>5, va bene per qualsiasi n anche se chiaramente i casi di n=1 e n=2 non hanno molto senso, lasciando sempre la possibilità di un errore.

@Loth, è carino eh? noi siamo stati 5 giorni a farci mettere cappelli in testa e indovinarne i colori. Ci presentavano come telepati :lol: E' stato troppo divertente anche perchè quasi nessuno riusciva a capire il vero metodo.

Arelt
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Messaggio da Arelt » 13 set 2005, 10:02

Francy88 ha scritto:@Loth, è carino eh? noi siamo stati 5 giorni a farci mettere cappelli in testa e indovinarne i colori. Ci presentavano come telepati :lol: E' stato troppo divertente anche perchè quasi nessuno riusciva a capire il vero metodo.
I migliori erano i cinnetti che dicevano che sparavamo a caso...

Loth
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Messaggio da Loth » 13 set 2005, 10:27

Anche a me l'hanno fatto vedere 'recitato' ed in effetti lascia davvero interdetti! :shock:

karotto
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Messaggio da karotto » 13 set 2005, 11:15

Ultima domanda: il numero dei cappelli deve essere sempre primo?

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Messaggio da Francy88 » 13 set 2005, 11:40

No, va bene qualsiasi numero..

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Messaggio da Melkon » 13 set 2005, 15:11

l'ipotesi migliore che ci hanno fatto è stata che ogni cappello fa calore in quantità diversa, e noi capiamo il colore ...dal calore...
terribile...

comunque si, è estendibile teoricamente a qualsiasi numero di persone e colori, e il metodo adottato funziona sempre, ovviamente...
"Bisogna vivere come si pensa, se no, prima o poi, ci si troverà a pensare come si è vissuto"
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Messaggio da enomis_costa88 » 13 set 2005, 20:27

ok posto un paio di ideuzze..

Il problema che tratto ora è una generalizzazione di quello proposto; n sono i colori e m le persone.

1) il primo che parla non può sapere nulla sul proprio cappello ed è quindi impossibile una strategia che definisca tutti i cappelli.

2) ciò che il primo a parlare dice deve essere sufficente però a definire il cappello del secondo a parlare.

provo a descrivere una strategia possibile:

Siano n i colori diversi dei cappelli.
Numero gli n colori diversi da uno a n; ora ad ogni cappello è assegnato il numero del suo colore;i cappelli saranno più avanti trattati come se fossere questo numero.
sia $ r(x_i) $ la risposta data dall'i esima persona a parlare; inoltre per $ i \not = 1 $ questa risposta si presuppone corretta.
sia $ f(x_i) $ la somma dei cappelli davanti all'i-esima persona a parlare considerata modulo n.
siano le m persone numerate secondo l'ordine di parola da $ x_1,x_2....x_m $

se definisco $ r(x_1)=f(x_1) $ il primo a parlare può benissimo non definire il proprio colore del cappello..daltronde per quanto detto su non esistono strategie che permettano di definire il suo cappello con certezza.
se pongo $ r(x_2)=f(x_1)-f(x_2) $ sempre considerando il tutto modulo n si definisce il cappello di $ x_2 $ correttamente perchè c'è solo un colore $ c_i $ (modulo n i colori sono diversi) tale che $ f(x_1)=f(x_2)+c_i $(mod n) .
ora si tratta solo di generalizzare :)

definisco per ricorrenza la successione $ r(x_k) $ come:

$ r(x_1)=f(x_1) $
$ r(x_i)= f(x_{i-1})-f(x_i) $ (quest'ultima analogamente a prima)
ma è facile verificare che (insomma ciò che stà davanti all'k-esimo è ciò che stà davanti al primo - le presone dal secondo fino al k-esimo incluso):
$ f(x_{i-1})=f(x_1)- \sum_{k=2}^{i-1} r(x_k) $
ovvero:

$ r(x_i)=f(x_1)- \sum_{k=2}^{i-1} r(x_k) -f(x_i) $

tutto ciò considerato modulo n permette di definire con certezza (almeno spero) il colore del cappello perchè per definizione i colori hanno rappresentanti diversi modulo n.

inoltre $ f(x_i) $ si può calcolare per definizione (per l'i-esima persona) e $ f(x_1)=r(x_1 $ ) e quindi lo si conosce come daltronde tutte le risposte date prima della propria.
Questa strategia permette di definire tutti i cappelli meno il primo.

PS spero di non avere fatto troppo casino con gli indici..

Arelt
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Messaggio da Arelt » 13 set 2005, 21:16

Non mi sembra che ci siano errori!

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Messaggio da Francy88 » 14 set 2005, 12:34

complimenti! Lo sapevo che in questo forum non ci avreste messo tanto a risolverlo :D

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desko
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Messaggio da desko » 18 ott 2005, 10:29

Molto carino, anche se non sono ancora sicurissimo di averlo capito.

Ora ho "implementato" l'algoritmo in Excel e più che carino mi viene da dire spettacolare.
Ma l'ha inventato quel prof che citavate?

PS: cosa c'entra col festival della letteratura?
"Caso è lo pseudonimo usato da Dio quando non vuole firmare col proprio nome"

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