Soluzioni simmetriche del Cubo di Rubik

[Marco]

Ciao. Non so bene se è meglio qui o in Mate non Elementare, comunque...

Immagino che più o meno tutti sappiano che cosa sia il Cubo di Rubik, quindi non mi dilungherò troppo su di esso.

La soluzione del Cubo è chiaramente invariante per una qualunque isometria del cubo (*)

A scanso di equivoci, e per i più pignoli, definisco che, date una disposizione del Cubo e un'isometria del cubo, la disposizione è invariante per l'isometria se esiste una permutazione dei colori che fa corrispondere la disposizione data all'immagine della stessa attraverso l'isometria.

La mia domanda è semplice: quante sono e come sono fatte le disposizioni del cubo di Rubik invarianti per qualunque isometria?

Ciao. M.

[Catraga]

Io direi mate non elementare: ma penso che sia una mia deformazione professionale da combinatorialista che mi porta ad utilizzare la teoria di Polya...

Altrimenti brute force facendo attenzione ai vincoli imposti dai movimenti limitati del cubo di rubik.
Un lemma utile, per chi non ha giochicchiato con il cubostro (cubo+mostro), potrebbe essere: esiste sempre una sequenza di mosse che tiene fissi tutti i cubetti tranne 1.

[Marco]

Non proprio. Direi che stai sparando con un cannone ad una zanzara. Il problema è molto più semplice di così e si fa con le mani.

P.S.: Che diamine è un cubo+mostro?

[Catraga]

Si, lo intuivo; infatti ho detto che la mia e' una deformazione professionale.

[Azarus]

Un lemma utile, per chi non ha giochicchiato con il cubostro (cubo+mostro), potrebbe essere: esiste sempre una sequenza di mosse che tiene fissi tutti i cubetti tranne 1.

Nel senso che ruota se è un vertice e cambia orientamento se è uno spigolo?

[fph]

Un lemma utile, per chi non ha giochicchiato con il cubostro (cubo+mostro), potrebbe essere: esiste sempre una sequenza di mosse che tiene fissi tutti i cubetti tranne 1.

Nel senso che ruota se è un vertice e cambia orientamento se è uno spigolo?

Se parlate del cubo di Rubik: no, non e' possibile lasciare fissi tutti i cubetti tranne uno. Al massimo si puo' avere tutto a posto tranne:
-due spigoli qualunque entrambi nella posizione giusta ma "orientati male", oppure
-due vertici nella posizione giusta ma uno ruotato di 120° in verso orario e l'altro in verso antiorario
-tre vertici nella giusta posizione ma ruotati di 120° tutti nello stesso verso.

Gia' che ci sono dico anche questo:
I vincoli sulle posizioni del cubo in generale sono:
-l'orientazione dell'ultimo spigolo e' obbligata
-l'orientazione dell'ultimo vertice e' obbligata
-la permutazione dei vertici e quella degli spigoli devono avere la stessa parita' (questa e' "tricky"...)
quindi, mi sembra, solo 1/12 delle possibili $ (12! 2^{12})(8! 3^8) $ configurazioni (se non sto sbagliando i conti ) sono accettabili.

have fun,