Aiuto funzioni

Giochini matematici elementari ma non olimpici.
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zak
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Aiuto funzioni

Messaggio da zak » 02 giu 2005, 19:50

Spesso mi capita di sapere come generare una successione di numeri, xò voglio sapere se c'è un modo di arrivare alla funzione per generare la successione. Per fare un esempio, se la successione 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16..... è generata dalla funzione (2x-1)/x, l'ho capito solo per osservazione... Ora ad esempio mi sono trovato con una cosa del genere: un quadrilatero ha 2 diagonali, un pentagono ne ha 5, un esagono ne ha 9, un ettagono ne ha 14 e così via... con che funzione posso stabilire il numero di diagonali in base al numero di lati???
Questo per fare alcuni esempi.
Insomma c'è un modo per arrivare da una successione alla funzione corrispondente???

Zak

karotto
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Messaggio da karotto » 02 giu 2005, 20:32

Mi sono "incapato" nel trovare una espressione che dato il numero dei lati mi desse il numero di diagonali e sono giunto a questo risultato: il numero di diagonali può essere ricavato mediante combinazione a due degli angoli.. e a questo sottraggo il numero dei lati in modo da escludere i lati della figura (cioè bisogna escludere l'accoppiamento di angoli collegati da un lato della figura)
Ho ottenuto: l(l-3)/2 ... se vuoi la dimostrazione completa te la posso postare

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Marco
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Re: Aiuto funzioni

Messaggio da Marco » 03 giu 2005, 08:05

zak ha scritto:Insomma c'è un modo per arrivare da una successione alla funzione corrispondente???
Ciao Zak. Purtroppo no. Ed è abbastanza chiaro perché no: sapere i primi termini di una successione, senza nessun'altra informazione in più non ti dice nulla: in fin dei conti puoi sempre inventarti di sana pianta una successione e cheiderti "come continua?" e scoprire che puoi farla continuare in mille modi diversi e sensati.

Prova, per curiosità, a farti un giro sulla On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, per capire che cosa può essere partorito dalla mente di un matematico...

Tanto per farti capire: la tua sequenza 2, 5, 9, 14 viene riconosciuta come:

0,2,5,9,14,20,27,35,44,54,65,77, ...

n(n+3)/2

For n >= 1, a(n) = maximal number of pieces that can be obtained by cutting an annulus with n cuts.

Is the number of diagonals of an n-gon.

Is also the multiplicity of the eigenvalue (-2) of the triangle graph Delta(n+1).

For n>3 a(n-3) = dimension of the traveling salesman polytope T(n).

Also counts quasi-dominoes (quasi-2-ominoes) on an n X n board.

Coefficient of x^2 in (1+x+2x^2)^n.

A curve of order n is generally determined by n(n+3)/2 points.

a(n) is the number of "prime" n-dimensional polyominoes. A "prime"
n-polyomnio cannot be formed by connecting any other n-polyominoes
except for the n-monomino, and the n-monomino is not prime. E.g. for
n=1, the 1-monomino is the line of length 1, and the only "prime"
1-polyominoes are the lines of length 2 and 3. This refers to "free"
n-dimensional polyominoes, i.e. that can be rotated along any axis.


e questa è la sequenza "giusta", però la stessa sequenza può iniziare

Sequence: 2,5,9,14,21,32,43,58,75,100
Name: Minimal span for an absolute difference triangle of distinct entries
whose base consists of a sequence of n positive integers.

Sequence: 1,1,0,2,5,9,14,20,69,125,209,329,923,1715,3002,5004,12869,
24309,43757,75581,184755,352715,646645,1144065,2704155,
5200299,9657699,17383859,40116599
Name: Euler characteristics of polytopes.

Sequence: 0,1,2,5,9,14,78,81,141,189,498,5070
Name: Numbers n such that 2^{2n+1} + 2^{n+1} + 1 is prime.

Sequence: 0,0,0,0,1,2,5,9,14,21,31,43,57,74,94,118,146,177,212,252,
297,346,401,462,528,600,678,763,854,953,1059,1172,1293,1423,
1561,1707,1862,2026,2200,2384,2577,2780,2994,3219
Name: [ n(n-1)(n-2)/23 ].

Sequence: 0,2,5,9,14,19,26,34,43,53,64,75,88,102,117,133,150,167,186,
206,227,249,272,295,320,346,373,401,430,459,490,522,555,589,
624,659,696,734,773,813,854,895,938,982
Name: [ (2nd elementary symmetric function of S(n))/(1st elementary
symmetric function of S(n)) ], where S(n) = {first n+1 odd positive
integers}.

... e così via ...

[tratto da Sloane's On-Line Encyclopedia]

Comunque, sei sulla strada buona: se, come nel tuo caso, riesci a congetturare la forma chiusa corretta di una successione numerica, hai fatto già tre quarti del lavoro. Ad esempio: entrambi i tuoi esempi possono essere agevolmente dimostrati usando la tecnica dell'induzione (e se non sai che cos'è, non farti scrupoli a chiederlo nel Glossario...)

Ciao. M.
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
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zak
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Messaggio da zak » 03 giu 2005, 15:27

grazie mille :D

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