bocconi 2005, una somma da 24 milioni

Giochini matematici elementari ma non olimpici.
MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 15 mag 2005, 20:12

Santi numeri, ma da dove saltano fuori tutte queste ambiguità? A me il testo pare chiarissimo! Comunque ecco ad esempio la sequenza dei numeri per n=9:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 3, 7, 11, 15, 12, 18, 27, 45.

La somma è 183, come si evince mettendo n=9 nella mia formula.

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moebius
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Messaggio da moebius » 15 mag 2005, 20:19

Guarda, io posso spiegartelo per come l'ho capito io nel modo più algoritmico e meno ambiguo che mi viene....
1: Poni S = 0.
2: Scrivi in fila su una riga (moolto lunga) i numeri a 1 a 2005.
3: Somma i primi due numeri della riga e scrivi la loro somma (chiamiamo s tale somma) in fondo alla medesima.
4: Poni S = S + s.
5: Cancella i primi due numeri della riga.
6: Se la riga contiene un solo numero, allora S più la somma dei primi 2005 interi positivi è il valore cercato; altrimenti ripeti da 3.

Io l'ho capita così, ma solo dopo aver letto la soluzione e qualche post sparso del thread. La mia prima idea era radicalmente diversa (come testimonia la soluzione farlocca :D )
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HiTLeuLeR
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Messaggio da HiTLeuLeR » 15 mag 2005, 20:24

Ah, ecco... Sono convinto che non ci sarei *mai* arrivato, e adesso mi è chiaro pure il perché!!! :shock: Grazie dei chiarimenti...

jabberwocky
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Messaggio da jabberwocky » 15 mag 2005, 20:38

d'accordo mind, è uno scempio di thread...

in effetti mi sono spiegato piuttosto male. provo a riscriverlo diversamente ancora, visto che il testo originario non lo ricordo.
scrivete dopo il 2005 la somma dei primi due, a seguire la somma del 3° e del 4°, poi la somma del 5° e del 6°, e così via finchè non vi rimane un solo numero.
quanto vale la somma di tutti i numeri scritti?

1 2 3 4...2004 2005 3 7....eccetera, finchè non arrivate in fondo.
se i numeri fossero 5 la serie sarebbe: 1 2 3 4 5 3 7 8 15, somma 48

detto questo, non capisco comunque da dove salta fuori la formula generale di myndflier

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 15 mag 2005, 20:48

jabberwocky ha scritto:detto questo, non capisco comunque da dove salta fuori la formula generale di myndflier
Non lo so, ma se vuoi posso spiegarti quella di MindFlyer.

jabberwocky
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Messaggio da jabberwocky » 15 mag 2005, 20:59

scusa. :oops:
in effetti si, mi farebbe molto piacere che qualcuno mi spiegasse il ragionamento mediante il quale MindFlyer è arrivato alla sua formula.
grazie

jabberwocky
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Messaggio da jabberwocky » 15 mag 2005, 21:05

comincio a capire di mio, ragionando un po' a ritroso, mi manca solo il come sei arrivato a determinare qual'è esattamente la quantità da aggiungere alla fine.

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 15 mag 2005, 21:10

Ok, ok.
Allora, la formula deriva dall'osservazione che nella somma finale alcuni dei numeri da 1 a n vengono contati $ \lfloor\log_2 n\rfloor+1 $ volte, mentre gli altri vengono contati una volta in più. Quali sono i numeri che vengono contati una volta in più? Sono quelli da 1 al doppio della differenza tra n e la massima potenza di 2 non superiore a n (ovvero quelli da 1 a 1962 nel caso n=2005).
Dimostrate questi fatti ed avrete in mano la formula.

jabberwocky
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Messaggio da jabberwocky » 15 mag 2005, 21:37

ora mi è molto più chiaro, ti ringrazio.
sono lontano dal domostrarlo in modo rigoroso, ma vedo che funziona e finalmente perchè funziona. in sostanza bisognava procedere a ritroso sapendo che l'ultimo numero è comunque la somma degli n numeri di partenza e "saltare" all'indietro di potenza di due in potenza di due. ora, il mio procedimento sarebbe stato lavorarci un po' sopra in cerca di regolarità, può darsi invece che ad altri le regolarità saltino agli occhi immediatamente, non lo so, comunque ora ho più o meno capito.
grazie ancora

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info
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Messaggio da info » 17 mag 2005, 15:25

--- tanto per concludere i calcoli per il caso particolare con il proc che avevo iniziato domenica(del resto è un gioco bocconi, no? Chissà come sarà la sol ufficiale!):

12*S - (2005+4007+15988+63312) = 24046868

con S definito come sopra...

Da notare per generalizzare:

2005 2005
4007 = 2003+2004
15988 = 1995+1996+1997+1998+1999+2000+2001+2002
63312 = ... similmente...

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