L'equazione di uno scarabocchio

Giochini matematici elementari ma non olimpici.
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E' possibile identificare uno scarabocchio qualsiasi in un piano cartesiano con un'equazione anche complicatissima?

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Hammond
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L'equazione di uno scarabocchio

Messaggio da Hammond » 08 apr 2005, 19:10

Provo a chiarire un po' l'argomento del sondaggio, che è una mia curiosità.
Tutti sappiamo in geometria analitica le equazioni di una retta, una parabola, ecc.
La domanda è: solo pochi grafici particolari possono essere espressi con un'equazione, oppure ogni scarabocchio ha la sua? Tipo, esiste un'equazione, di millesimo grado o che so io, che ha come grafico la lettera G o il disegno di una pecora, e così via?
Ovviamente tutto ciò solo a livello teorico, cioè non mi interessa come trovare queste equazioni, ma solo sapere se esistono.
Ditemi le vostre opinioni, magari anche con qualche fondamento matematico serio (ma non troppo).

P.S: l'ho messo in matematica ricreativa, se non è la sezione più adatta spostatelo.

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Catraga
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Messaggio da Catraga » 09 apr 2005, 09:18

No,
non e' detto che ogni scarabocchio abbia una funzione, giacchè una funzione ad una variabile deve essere monovalued per definizione (ad ogni x DEVE, per definizione, corrispondere una ed una sola y). Per esempio la circonferenza è un esempio di una non-funzione, poichè tracciando delle opportune parallele all'asse y la si interseca in due punti.
A questo punto ci si puo' chiedere se un qualsiasi scarabocchio puo' essere rappresentato come l'insieme delle soluzioni di una funzione a due variabili. Senza chiamare in ballo il teorema del Dini, basta pensare alla curva di Peano od all'isola di Koch (ref. mathworld) che non hanno una rappresentazione siffatta.

fph
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Messaggio da fph » 09 apr 2005, 12:09

Catraga ha scritto: A questo punto ci si puo' chiedere se un qualsiasi scarabocchio puo' essere rappresentato come l'insieme delle soluzioni di una funzione a due variabili. Senza chiamare in ballo il teorema del Dini, basta pensare alla curva di Peano od all'isola di Koch (ref. mathworld) che non hanno una rappresentazione siffatta.
No? Io direi di si'. In realta' tutto dipende da cosa intende uno per "equazione" o "funzione": per esempio i "puristi" vi diranno che
$ f(x,y)=\left\{\begin{array}{ll} 0 & \text{ se $(x,y)$ $\in$ scarabocchio}\\ 1 & \text{ altrimenti} \end{array}\right. $
è un'onestissima funzione.

Quindi dobbiamo vedere per bene di cosa stiamo parlando...
Se per esempio per "funzioni" intendiamo "polinomi" l'enunciato è falso (per esempio seno e coseno non si possono scrivere come polinomi) pero' vi puo' interessare che vale il seguente teorema:
Teorema (Stone-Weierstrass): dato un intervallo $ [a,b] $, una funzione continua $ f $ (cioe' more or less "che si traccia con uno scarabocchio senza staccare la penna dal foglio") da $ [a,b] $ in $ \mathbb R $ e un $ \varepsilon $ positivo "piccolo a piacere", esiste un polinomio $ p(x) $ che e' tutto contenuto in un "tubicino di raggio $ \varepsilon $" centrato nella curva (cioe' $ |p(x)-f(x)|<\varepsilon $ per ogni $ x $)

(spero di non scordare qualche ipotesi :-) )

ciao a tutti,
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 09 apr 2005, 16:37

fph, attento a fare questi discorsi troppo sensati, o il forum ti si rivolta contro.

pirignao
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Messaggio da pirignao » 11 apr 2005, 18:19

...una curiosità da domandare a chi ne sa più di me: e definire lo scarabocchio a tratti? Voglio dire (e qua mi cimento in un linguaggio che non mi appartiene):
<-< modalità sproposito = on >->
- potrei prendere infinite x e definirvi per ogni x una o più y? Per le funzioni a tratti normalmente si usano le diseguaglianze (per x > 2, y=x) o poche uguaglianze, ma sarebbe possibile scrivere in maniera "matematicamente plausibile" una non-funzione definita a tratti con un numero infinito degli stessi?
<-< modalità sproposito = off >->

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 11 apr 2005, 20:55

Chiudo il thread per insensatezza.

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Marco
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Messaggio da Marco » 12 apr 2005, 08:19

...e lasciali fare!! Che ti costa?

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