Problemino notturno

Giochini matematici elementari ma non olimpici.
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pps
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Problemino notturno

Messaggio da pps » 06 mar 2005, 00:52

In un libretto ho trovato questo problemino.

Qual è il minor quoziente che si può ottenere dividendo un numero di due cifre per la somma delle sue cifre?

Il libro forniva questa soluzione:

La somma delle cifre di un numero con più di una cifra è sempre minore del numero stesso, dunque il quoziente di un numero con due cifre per la loro somma è sempre maggiore di 1.
All'interno di ciascuna decina si verifica che il quoziente diminuisce quando aumenta il numero delle unità, per esempio:
30/3 > 31/4 > 32/5 > 33/6 > 34/10 > 35/8 > 36/9 > 37/10 > 38/11 > 39/12
Si verifica anche che a parità di unità il quoziente diminuisce quando diminuisce la cifra delle decine:
99/18 > 89/17 > ... > 19/10
Dunque il quoziente minore si ottiene quando il dividendo è formato dal numero delle unità più alto possibile e dal numero delle decine più basso possibile, ossia 19/10 = 1,9.


Il libretto però basava la sua dimostrazione solo su tentativi, ossia aveva calcolato tutte le frazioni che vi ho riportato nella dimostrazione e in base a quel campione di numeri snocciolava la soluzione.
Mi chiedo ora se non esista una dimostrazione più rigorosa che porti alla medesima soluzione...

Attendo risposta, grazie!

NOTA: ho lasciato la soluzione del libro in bianco (colore peraltro visibile sullo sfondo del nuovo forum) per lasciare agli utenti meno esperti e meno intenzionati a scrivere formule il piacere di trovarla.
Thanks to Joim

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 06 mar 2005, 01:35

Quella soluzione è rigorosissima!
L'unica sua pecca è non dimostrare i 2 lemmi, che però sono nel bagaglio standard, e la loro dimostrazione è routine.

pps
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Messaggio da pps » 06 mar 2005, 09:23

:D beh è per questo che il problema è qua...
Thanks to Joim

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Poliwhirl
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Messaggio da Poliwhirl » 06 mar 2005, 13:57

Sembra semplice dimostrare "rigorosamente", o meglio "generalizzando", i due lemmi; ecco qui le dimostrazioni per chi servissero:
Lemma #1: all'interno di ciascuna decina, il quoziente tra un numero n (di due cifre) e la somma delle sue cifre, diminisce all'aumentare del numero di unità.

Poniamo $ a,b\in\mathbb{N} $ con $ 0<a<9 $ e $ 0<b<8 $. Posto $ n=10a+b $, dobbiamo provare che:
$ \frac {10a+b}{a+b}>\frac {10a+b+1}{a+b+1} $.
Facendo un pò di conticini:
$ (10a+b)(a+b+1)>(10a+b+1)(a+b) $
$ 10a^{2}+10ab+10a+ab+b^{2}+b>10a^{2}+10ab+ab+b^{2}+a+b $
$ 10a>a $ che è sempre vera, poiché $ a>0 $; il lemma è così dimostrato.

Lemma #2: a parità di unità, il quoziente tra un numero n (di due cifre) e la somma delle sue cifre, diminuisce al diminuire della cifra delle decine.

Poniamo $ a,b\in\mathbb{N} $ con $ 2<a<9 $ e $ 0<b<9 $.
Posto $ n=10a+b $, dobbiamo provare che:
$ \frac {10a+b}{a+b}>\frac {10(a-1)+b}{a+b-1} $
Altri conticini:
$ (10a+b)(a+b-1)>(10(a-1)+b)(a+b) $
$ 10a^{2}+10ab-10a+ab+b^{2}-b>10a^{2}+10ab-10a-10b+ab+b^{2} $
$ -b>-10b $
$ 10b>b $ che è sempre vera poiché $ b>0 $; il lemma è così dimostrato.

Bye,
#Poliwhirl#
Ultima modifica di Poliwhirl il 06 mar 2005, 18:27, modificato 1 volta in totale.

pps
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Messaggio da pps » 06 mar 2005, 14:23

Non avrei saputo scriverlo meglio (anche perché o si dimostra così o niente :) )

Altro problemino? Questo però lasciatelo ai più giovani, che è facile facile... (lo so, sto abbassando un po' il livello, ma consideratelo come un'incentivo alla partecipazione degli utenti meno esperti)

Allora: Un numero di sette cifre è formato dalle cifre dall'1 al 7 considerate una sola volta. Di questo numero si sa che la somma di due cifre consecutive è sempre uguale o alla somma delle prime due cifre del numero o a quella delle ultime due.
a) Stabilire quanti numeri possiedono queste caratteristiche.
b) Dimostrare che non esiste alcun numero di otto cifre (formato dalle cifre dall'1 all'8 considerate una sola volta) nel quale la somma di due cifre consecutive è sempre uguale o alla somma delle prime due o quella delle ultime due.
Thanks to Joim

Hammond
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Messaggio da Hammond » 06 mar 2005, 14:41

pps ha scritto: NOTA: ho lasciato la soluzione del libro in bianco (colore peraltro visibile sullo sfondo del nuovo forum) per lasciare agli utenti meno esperti e meno intenzionati a scrivere formule il piacere di trovarla.
Eh già, scrivere in bianco non ha più la stessa utilità che aveva nel vecchio forum, serve un 'Piano B'.
C'è la possibilità di far venir fuori quei "click to reveal hidden content" tipo Mathlinks?

pps
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Messaggio da pps » 06 mar 2005, 15:29

naa.. basta impostare come colore #EFEFEF... dico bene?
La mia soluzione al problema - La mia soluzione al problema - La mia soluzione al problema - La mia soluzione al problema - La mia soluzione al problema - La mia soluzione al problema - La mia soluzione al problema - La mia soluzione al problema - La mia soluzione al problema - La mia soluzione al problema
... è perfetto!

oppure #DEE3E7 se lo sfondo è quello più scuro (chiaro o scuro si alternano)
La mia soluzione al problema - La mia soluzione al problema - La mia soluzione al problema - La mia soluzione al problema - La mia soluzione al problema - La mia soluzione al problema - La mia soluzione al problema - La mia soluzione al problema - La mia soluzione al problema - La mia soluzione al problema

beh, farò una prova in futuro
Scusate se sono OT...
Thanks to Joim

pps
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Messaggio da pps » 06 mar 2005, 19:26

...e inoltre, generalizzando il problema:
c) dato un numero di n cifre (n<10) formato dalle cifre da 1 a n, per quali n esistono numeri nei quali la somma di due numeri consecutivi è sempre uguale alla somma delle prime due cifre oppure a quella delle ultime due cifre?
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Messaggio da pps » 08 mar 2005, 23:34

pps ha scritto:Altro problemino? Questo però lasciatelo ai più giovani, che è facile facile... (lo so, sto abbassando un po' il livello, ma consideratelo come un'incentivo alla partecipazione degli utenti meno esperti)
Bene, deduco che tutti voi godete di una solida autostima :wink: . Allora, la soluzione?
Thanks to Joim

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