Rotazioni degli assi in 3d

Giochini matematici elementari ma non olimpici.
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Aschie4589
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Rotazioni degli assi in 3d

Messaggio da Aschie4589 » 29 mar 2016, 08:47

Non è necessariamente un problema di rotazione. Ma mi pare l'unica soluzione.
Beh, che dire. Facendo parte della competizione CanSat Danimarca, io e la mia squadra abbiamo dovuto creare un "satellite formato lattina" e lo lanceremo dopodomani per effettuare alcune misurazioni. Cosa abbastanza imbarazzante, non sono ancora riuscito a sviluppare tutte le formule necessarie per processare i dati rilevati.
Va bene, via con la spiegazione. Il mio obiettivo è trovare il raggio della terra. In pratica ho una fotocamera e un magnetometro, sincronizzati abbastanza bene. Porto la mia fotocamera abbastanza in alto (diciamo 500-800 metri di altezza) e scatto una foto dell'orizzonte. Siccome la fotocamera è attaccata a un paracadute ed è in caduta libera, non so esattamente il suo orientamento. Ho però delle informazioni dal magnetometro (in sostanza, misuro il vettore del campo magnetico terrestre a terra e poi per aria, e faccio finta che i due vettori siano lo stesso). Ho le componenti del vettore in due sistemi di assi cartesiani: il primo, con l'asse y perpendicolare al terreno. Il secondo, completamente arbitrario (dipende dall'orientamento del "satellite").
Facendo alcuni (semplici) calcoli di trigonometria, ho trovato che l'unica cosa che mi serve è l'angolo tra l'orizzonte visibile e l'orizzonte astronomico, assieme all'altitudine a cui il satellite si trova. Immagine
In pratica mi serve l'angolo $ [tex] $\triangle FAD[\tex]. La formula che ho trovato è: [math]
Quello che devo fare, quindi, è trovare quell'angolo. Il problema è come. Mi sono dimenticato di dire che la fotocamera è perfettamente allineata con l'asse z del magnetometro, per rendere i calcoli un po' meno pesanti.
Per ora io faccio il seguente:
1) dall'immagine, trovo il rapporto tra la distanza tra il centro e la "retta dell'orizzonte" (vedi immagine) e la distanza tra i due bordi della foto. Questo rapporto è anche il rapporto tra le tangenti del FOV (che io posso misurare) e dell'angolo tra l'asse z e l'orizzonte visibile. Così ho l'angolo tra l'asse z e l'orizzonte misurato.
Immagine
2) Devo trovare l'angolo tra l'asse z e l'orizzonte teorico. Se io effettuo una rotazione sull'asse z in modo tale che la retta dell'orizzonte sia perfettamente orizzontale, l'angolo dovrebbe (teoricamente) essere quello tra l'asse y del sistema del mio satellite e l'asse y teorico (supponendo che i due sistemi abbiano la stessa origine).
Ne ho provate tante per trovare quell'angolo, ma non mi pare di essere arrivato a nulla. Ho provato a pensare alla trasformazione che porta il vettore misurato nel primo sistema nel secondo sistema, utilizzando la formula di Rodrigues, ipotizzando che l'asse y del primo sistema andasse a coincidere con l'asse y del secondo sistema. Ma non sembra essere il caso. Se riuscissi a trovare le coordinate del versore che rappresenta l'asse y ruotato nel primo sistema di coordinate, potrei utilizzare il prodotto scalare per trovare l'angolo tra i due assi. Dopodiché farei la differenza tra i due angoli trovati e avrei tutto.
La sostanza è che non ho la minima idea di cosa dovrei fare, né so se il procedimento che ho adottato può funzionare. Idee? Scusate per il post lungo, ma spero tanto che almeno si capisca il problema. Ho una rappresentazione (praticamente) completa della situazione in GeoGebra. Se può aiutare, posso provare a caricare il file!

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karlosson_sul_tetto
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Re: Rotazioni degli assi in 3d

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 03 apr 2016, 12:38

Se non è ancora troppo tardi per l'elaborazione dei dati, visto che sono passati tre giorni dal lancio.

Che tipo di magnetometro è? Se ho capito bene, misura l'intensità del campo magnetico lungo il suo asse (ovvero $z$), giusto?
In tal caso, sapendo il modulo del vettore $\vec{V}$ del campo magnetico terrestre e la sua proiezione $\vec{P}$ sull'asse $z$ del magnetometro, allora $|P|=|V|\cdot \cos \alpha$, dove $\alpha$ è l'angolo tra l'asse $z$ e la direzione del campo magnetico (che si può misurare da terra). Quindi ti puoi calcolare $\alpha$, a terra misuri l'angolo tra $AE$ (la verticale passante per il centro della terra) e la direzione del campo magnetico, hai un triangolo con due angoli e ti puoi calcolare il terzo, ovvero l'angolo tra $AE$ e l'asse $z$. L'angolo $\angle FAD$ sarà a questo punto 90-angolo appena trovato.

Si possono ottenere due valori di coseno da $|P|=|V|\cdot \cos \alpha$, uno positivo e uno negativo, ma penso che si possano distinguere vedendo se la terra si trova sotto o sopra la linea d'orizzonte.
"Inequality happens"
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"Chissa se la fanno anche da asporto"

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