Somma periodica delle cifre

Giochini matematici elementari ma non olimpici.
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RiccardoKelso
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Somma periodica delle cifre

Messaggio da RiccardoKelso » 10 feb 2016, 18:12

Poco tempo fa un mio amico mi ha fatto notare una cosa curiosa, alla quale lì per lì non ho saputo dare una spiegazione logica. La propongo qui, in modo che se qualche anima pia avesse voglia di spenderci tempo (o di farmi presente che per qualche motivo è una banalità) la verità verrebbe a galla presuppongo piuttosto facilmente.

Ci tengo a precisare che si tratta di un discorso fin'ora "empirico", in quanto ricorrenza verificata su alcuni numeri nelle loro prime potenze.
Si scelga un numero naturale $c$. Si consideri la successione data dal termine generale $c^n$. Sia $S_n$ il numero ottenuto considerando la somma delle cifre di $c^n$ e iterando il procedimento (di somma delle cifre del numero così ottenuto) fino a quando si ottiene che la somma è $<10$. La successione $S_n$ è allora periodica.

Per alcuni casi particolari (es. $c=3$ oppure $c=9$) la spiegazione è semplice in quanto diretta conseguenza dei criteri di divisibilità. Oso immaginare che il discorso sia analogo per gli altri numeri, ma nel poco tempo che ci ho dedicato non sono riuscito a concretizzare nulla. Spero abbiate voglia di provarci, mi piacerebbe molto potergli rispondere!

EDIT BAGGIANATA

Ok, mi vergogno un po' per non esserci arrivato subito, ma si tratta semplicemente delle classi di resto modulo 9, come non detto :oops:
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Re: Somma periodica delle cifre

Messaggio da Saro00 » 10 feb 2016, 18:36

Fatto 1: sia $ n $ in numero, $ n\equiv S_n \pmod{9} $
Dimostrazione:
Testo nascosto:
Sia $ n=a_0+a_1\cdot 10 + ... + a_k\cdot 10^k $ la sua scrittura in base $ 10 $.
Allora, $ n\equiv a_0+a_1\cdot 10 + ... + a_k\cdot 10^k \equiv a_0 + ...+ a_k \equiv ... \equiv S_n \pmod{9} $ dove la prima uguaglianza é giustificata dal fatto che $ 10^i \equiv 1^i \equiv 1 \pmod{9} $.
Fatto 2: sia $ b $ un intero, allora $ b^k $ é periodico modulo 9
Dimostrazione:
Testo nascosto:
Dal teorema di Eulero-Fermat sappiamo che $ b^6\equiv 1 \pmod{9} $ (escludendo il caso $ b\equiv 0 \pmod{3} $ che peró é banale) da cui la periodicità
Unendo Fatto 1 e Fatto 2 e sapendo che $ S_n <10 $ si ottiene proprio che $ S_{b^k} $ é periodico.
EDIT: Lo lascio lo stesso, magari puó servire.
Ultima modifica di Saro00 il 10 feb 2016, 18:49, modificato 3 volte in totale.
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Re: Somma periodica delle cifre

Messaggio da fph » 10 feb 2016, 18:40

@RiccardoKelso (parente di Bob?): occhio che in alcuni casi non sono periodiche "vere", ma c'è un antiperiodo (bonus question: per quali numeri?)

@Saro00: $b^7 \equiv 1 \mod 9$ è un typo, immagino.
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Re: Somma periodica delle cifre

Messaggio da Saro00 » 10 feb 2016, 18:43

In realtá $ b^6\equiv 1 \pmod{9} $. :lol:
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Re: Somma periodica delle cifre

Messaggio da RiccardoKelso » 10 feb 2016, 18:56

Vi ringrazio per le risposte 'sì pronte!

@fph (anni addietro ne ero un patito, quindi parente acquisito) Direi per quei numeri che contengono nella fattorizzazione $3^1$.
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Re: Somma periodica delle cifre

Messaggio da fph » 11 feb 2016, 08:12

$b^7 \equiv 1 \mod 9$ era un typo, ma $b^6 \equiv 1 \mod 9$ (per ogni $b$ intero) è un errore. :D
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Re: Somma periodica delle cifre

Messaggio da Saro00 » 11 feb 2016, 09:19

? Avevo precisato :roll:
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Re: Somma periodica delle cifre

Messaggio da fph » 11 feb 2016, 09:24

Hmm ok hai ragione... c'era anche prima e sono cieco io (possibilissimo...) oppure è un edit?
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Re: Somma periodica delle cifre

Messaggio da Saro00 » 11 feb 2016, 10:13

L'edit c'era stato, ma alle 7:30 di ieri sera...
However, grazie della disponibilità :D
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Re: Somma periodica delle cifre

Messaggio da fph » 11 feb 2016, 12:43

Ok, allora sono ufficialmente cecato io. :) Grazie a te per aver scritto per bene la dimostrazione!
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