paradosso ?
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paradosso ?
( RI-EDITATO 2 volte LA PARTE FINALE DEL TESTO PER MAGGIOR CHIAREZZA )
Consideriamo 2 punti $A$ e $B$ scelti a caso su una circonferenza di centro $O$ e consideriamo i due diametri $ AC $ e $ BD $ .
Perché un punto $ P $ scelto a caso sulla crf. cada tra $ A $ e $ B $ occorre che :
1) $ P $ cada nella semicirconferenza $ BAD $ e non nell' altra semicirconferenza $ BCD $ ; [il che accade con probabilità 50%]
2) $ P $ cada nella semicirconferenza $ ABC $ e non nell' altra semicirconferenza $ ADC $ ; [il che accade pure con probabilità 50%]
Quindi la probabilità complessiva è pari a : $ \frac {50}{100}\frac{50}{100} = \dfrac {25}{100} $ .
Analogamente perché il punto cada tra $ C $ e $ D $ la probabilità è pure pari a $ \dfrac {25}{100} $ .
Ne consegue che la probabilità che $ P $ cada all’ interno di uno di quei $2$ archi è $\frac{25}{100}+ \frac{25}{100} = \dfrac{50}{100} $ .
Però è già stato giustamente da altre parti dimostrato che il valore giusto è diverso .
Quale è il motivo dell' errore ?
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[Ripropongo questo erroneo paradosso (non difficile da individuare), per eventuali neofiti/inesperti.]
Consideriamo 2 punti $A$ e $B$ scelti a caso su una circonferenza di centro $O$ e consideriamo i due diametri $ AC $ e $ BD $ .
Perché un punto $ P $ scelto a caso sulla crf. cada tra $ A $ e $ B $ occorre che :
1) $ P $ cada nella semicirconferenza $ BAD $ e non nell' altra semicirconferenza $ BCD $ ; [il che accade con probabilità 50%]
2) $ P $ cada nella semicirconferenza $ ABC $ e non nell' altra semicirconferenza $ ADC $ ; [il che accade pure con probabilità 50%]
Quindi la probabilità complessiva è pari a : $ \frac {50}{100}\frac{50}{100} = \dfrac {25}{100} $ .
Analogamente perché il punto cada tra $ C $ e $ D $ la probabilità è pure pari a $ \dfrac {25}{100} $ .
Ne consegue che la probabilità che $ P $ cada all’ interno di uno di quei $2$ archi è $\frac{25}{100}+ \frac{25}{100} = \dfrac{50}{100} $ .
Però è già stato giustamente da altre parti dimostrato che il valore giusto è diverso .
Quale è il motivo dell' errore ?
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[Ripropongo questo erroneo paradosso (non difficile da individuare), per eventuali neofiti/inesperti.]
Ultima modifica di maurizio43 il 25 feb 2014, 22:04, modificato 3 volte in totale.
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Re: paradosso ?
Cos'è questo silenzio ?
Di solito quando c'è un errore tutti si precipitano (lodevolmente) a indicarlo !
(A volte ho avuto la tentazione, nei miei post, di introdurre un errorino per stimolare le risposte...
)
Forse l'errore è fin troppo banale ?
Di solito quando c'è un errore tutti si precipitano (lodevolmente) a indicarlo !
(A volte ho avuto la tentazione, nei miei post, di introdurre un errorino per stimolare le risposte...

Forse l'errore è fin troppo banale ?
Re: paradosso ?
Forse sbaglio ma l' errore è che non devi sommare la probabilità che il punto cada nell' arco tra $C$ e $D$ quindi la probabilità restA $\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$maurizio43 ha scritto:Consideriamo 2 punti $A$ e $B$ scelti a caso su una circonferenza di centro $O$ e consideriamo i due diametri $ AC $ e $ BD $ .
Perché un punto $ P $ scelto a caso sulla crf. cada tra $ A $ e $ B $ occorre che :
1) $ P $ cada nella semicirconferenza $ BAD $ e non nell' altra semicirconferenza $ BCD $ ; [il che accade con probabilità 50%]
2) $ P $ cada nella semicirconferenza $ ABC $ e non nell' altra semicirconferenza $ ADC $ ; [il che accade pure con probabilità 50%]
Quindi la probabilità complessiva è pari a : $ \frac {50}{100}\frac{50}{100} = \dfrac {25}{100} $ .
Analogamente perché il punto cada tra $ C $ e $ D $ la probabilità è pure pari a $ \dfrac {25}{100} $ .
Ne consegue che la probabilità che $ P $ cada all’ interno di uno di quei $2$ archi è $\frac{25}{100}+ \frac{25}{100} = \dfrac{50}{100} $ .
Però è già stato giustamente da altre parti dimostrato che quest’ultimo evento ha probabilità = $ \dfrac{1}{4} $ .
Quale è il motivo della differenza ?
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[Ripropongo questo erroneo paradosso (non difficile da individuare), per eventuali neofiti/inesperti.]
Giusto?

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Re: paradosso ?
Ti ringrazio comunque per la risposta .BorisM ha scritto:Forse sbaglio ma l' errore è che non devi sommare la probabilità che il punto cada nell' arco tra $C$ e $D$ quindi la probabilità restA $\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$maurizio43 ha scritto:Consideriamo 2 punti $A$ e $B$ scelti a caso su una circonferenza di centro $O$ e consideriamo i due diametri $ AC $ e $ BD $ .
..........ecc.
Giusto?
Ho rieditato il testo per rendere più chiaro l' evento di cui si vuole esprimere la probabilità.
E' vero che non sommando la seconda probabilità il risultato darebbe proprio $1/4$ . Ma la faccenda è un po' più "filosofica"... e quella (pura) coincidenza numerica non eliminerebbe l' errore concettuale che cerchiamo.
[ Insisti nella ricerca : è un "Uovo di Colombo" un po' mascherato ].

Re: paradosso ?
Ma se A e B sono scelti a caso, la probabilità che P sia interno all'arco AB non cambia a seconda della distanza tra i due punti?
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Re: paradosso ?
Bravo, la prima obiezione che salta all'occhio è proprio questa : la probabilità non può non dipendere dalla distanza dei due punti !matpro98 ha scritto:Ma se A e B sono scelti a caso, la probabilità che P sia interno all'arco AB non cambia a seconda della distanza tra i due punti?
E il valore $ 50$% è il risultato di un ragionamento sbagliato .
Ma che cosa c'è di errato nel metodo di calcolo che porta erroneamente a quel valore di probabilità ?
Re: paradosso ?
Se disponiamo i diametri AC e CD in modo da farli essere perpendicolari, allora il conto è giusto: la probabilità è di 1/4 per ogni arco, e quindi quella cercata è 1/2... o mi sbaglio?
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Re: paradosso ?
Ti ringrazio per la risposta, che è giusta nel caso particolare che hai considerato (credo che tu intendessi AC e BD) .matpro98 ha scritto:Se disponiamo i diametri AC e CD in modo da farli essere perpendicolari, allora il conto è giusto: la probabilità è di 1/4 per ogni arco, e quindi quella cercata è 1/2... o mi sbaglio?
La curiosità del quesito era , comunque, il perchè, nel caso generale, portasse a conclusioni errate il metodo usato di moltiplicare le probabilità che P cadesse a destra di A e che P cadesse a sinistra di B .....
Re: paradosso ?
Risposta così ad intuito senza nessuna formalizzazione a supporto: mi viene da dire che la probabilità così calcolata è relativa a due eventi disgiunti e non collegati tra loro. E' l'equivalente di calcolare la probabilità che in due lanci di una moneta esca entrambe le volte testa. Infatti 1/2 probabilità che la prima volta il punto cada nella semicirconferenza ABC e poi 1/2 probabilità che un secondo punto cada nell'altra semicirconferenza.
E quindi non c'è nessun collegamento al segmento AB e alla sua ampiezza.
E quindi non c'è nessun collegamento al segmento AB e alla sua ampiezza.
Re: paradosso ?
Forse è uno spoiler o forse è un errore clamoroso quindi lo nascondo
Testo nascosto:
$T=\sqrt{\dfrac l g 12\pi}$