Il trapezio e la pallina

Giochini matematici elementari ma non olimpici.
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maurizio43
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Il trapezio e la pallina

Messaggio da maurizio43 » 15 gen 2014, 11:09

( Un pizzico di matematica, un pizzico di fisica, un piccolo apparente paradosso . )

Consideriamo una vasca che , in sezione verticale, appaia come un trapezio isoscele $OAA’O’$ ,con la base maggiore in alto.
Sia $h_1$ l’altezza del trapezio ; la lunghezza della base minore sia $AA’ = 6h_1\sqrt 3 $ ; l’angolo tra il lato obliquo $OA$ e la verticale sia pari a $30°$
Il materiale di cui è costituita la vasca sia totalmente privo di attriti e perfettamente elastico.

Posizioniamo una pallina puntiforme (dello stesso materiale) nel vertice in alto a sinistra ( $O$ ) e lasciamola andare.
In assenza di resistenza dell’ aria non ci sono nel sistema forze dissipative e quindi, per il principio di conservazione dell’energia, la pallina, nel suo moto,
arriverà fino al vertice opposto $O’$ in un tempo $T_1$ (e proseguirà poi il suo movimento oscillando tra $O’$ e $O$ ) .

Consideriamo poi un’altra vasca simile alla precedente, ottenuta levando il fondo $AA’$ , prolungando i $2$ lati obliqui fino ad ottenere un trapezio isoscele $OBB’O’$
( e rimettendo ovviamente un fondo $BB’$). Il materiale sia sempre lo stesso; gli angoli siano gli stessi; la nuova altezza sia $h_2=4h_1$
Rilasciando allora la pallina posizionata in $O$ , questa raggiungerà $O’$ in un tempo $T_2$ .
Domande :
1° : Quale dei due tempi $T_1$ e $T_2$ è maggiore ?
2° : Che distanza c’è fra i punti in cui la pallina si trova a metà percorso nel primo e nel secondo caso ?
-------------------------
P.S.1: (Scusate se ho abbassato il livello dei quesiti sul sito, ma credo che nella sezione ‘Matematica ricreativa’ si possa fare) :oops:
P.S.2:(Forse la sezione più adatta sarebbe ‘Fisica’ , ma mi spiacerebbe seppellire il quesito nel deserto di una sezione che ha totalizzato, complessivamente,
2 risposte in tutto il 2013 ! ) :wink:

maurizio43
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Re: Il trapezio e la pallina

Messaggio da maurizio43 » 16 gen 2014, 10:49

In attesa delle risposte alle domande 1 e 2 , almeno qualcuno sa dirmi
perchè le traiettorie della pallina ricordano la città di Bologna ?

maurizio43
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Re: Il trapezio e la pallina

Messaggio da maurizio43 » 26 gen 2014, 21:04

E se vi dico che la traiettoria della vasca superiore ricorda Bologna perchè può far pensare ad uno dei suoi portici (in particolare con 6 archi di portico),
vi viene la curiosità di risolvere l' esercizio ?
(n.b.: per soddisfare la mia curiosità, piuttosto che il silenzio, sono gradite anche risposte tipo: "problema banale e ottuso", oppure "non è minimamente interessante", oppure "è solo un esercizietto" , oppure "non è per niente ricreativo", oppure qualsiasi altra critica....) :(

maurizio43
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Re: Il trapezio e la pallina

Messaggio da maurizio43 » 06 feb 2014, 15:53

E se vi aggiungo la (ovvia) informazione che occorre applicare il principio di conservazione dell'energia
e quello di sovrapposizione degli effetti nel moto, c'è qualche pietoso buon samaritano che indulga
a consolarmi con una "mezza" risposta, in questo gelido deserto di silenzio..... :cry:

BorisM
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Re: Il trapezio e la pallina

Messaggio da BorisM » 09 feb 2014, 12:03

Bisogna considerare anche il fatto che quando la pallina tocca la base minore rimbalza?

BorisM
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Re: Il trapezio e la pallina

Messaggio da BorisM » 09 feb 2014, 12:06

Poi la pallina rotola o scivola?

maurizio43
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Re: Il trapezio e la pallina

Messaggio da maurizio43 » 09 feb 2014, 15:44

In assenza di attriti la pallina non rotola : trasla .
Ovviamente la pallina rimbalza, perchè i materiali sono perfettamente elastici .
Non si perde energia nè per attrito , nè nell'urto . :)

BorisM
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Re: Il trapezio e la pallina

Messaggio da BorisM » 09 feb 2014, 23:31

maurizio43 ha scritto:In assenza di attriti la pallina non rotola : trasla .
Ovviamente la pallina rimbalza, perchè i materiali sono perfettamente elastici .
Non si perde energia nè per attrito , nè nell'urto . :)
Hai ragione, non avevo letto con attenzione e mi ero perso la parte in cui si dice che la pallina è lasciata andare.
Provo a provorre una soluzione.
Primo caso:
Per prima cosa a mio avviso è fondamentale calcolare la proiezione del lato obliquo sul prolungamento della base minore e verificare che questa sia contenuta nella base minore un numero pari di volte altrimenti la pallina non raggiungerà mai $O'$ (credo).
Troviamo che la proiezione è pari a $\sqrt 3\ h$ e che quindi la pase minore è $6$ volte questa misura. Il problema è quindi possibile, in particolare $T_1$ sarà $8$ volte il tempo impiegato per raggiungere la base minore.
Troviamo grazie al principio di conservazione dell' energia $v=\sqrt {2gh} $ Dalla formula $v=at$ troviamo che $t=\sqrt {2gh}$ $/g$ e che quindi $T_1=\sqrt {2gh}$ $8/g$
Secondo caso:
Eseguiamo il passaggio come in precedenza e troviamo che la proiezione questa volta è $4h\sqrt 3$. Sapendo dal primo problema che la base maggiore era $8h\sqrt 3$ possiamo concludere che la "vasca" diventa un triangolo isoscele. Inoltre la proiezione è la metà della base maggiore quindi $T_2$ sarà due volte il tempo impiegato per arrivare al vertice del triangolo. Questa volta avremmo: $v=\sqrt {8gh}$ quindi $t=\sqrt {8gh}$ $/g$ e $T_2=\sqrt {8gh}$ $2/g=4\sqrt {2gh}$ $/g$
Possiamo dire che $T_1>T_2$
Nel primo caso a metà percorso la pallina si troverà a metà della base maggiore quindi ad una distanza di $4\sqrt 3 $ da $O$ mentre nel secondo caso si troverà nel vertice del triangolo isolscele ovvero ad una distanza da $O$ pari al lato obliquo e quindi pari a $8h$

PS tutto questo "teoricamente" in quanto in realtà la pallina non arriverebbe mai al punto $O'$. Sempre ipotizzando assenza di attriti e un materiale perfettamente elastico nel primo caso la base minore, e di conseguenza la base maggiore dovrebbe essere allungata di un valore pari a $2r$ dove $r$ è il raggio della pallina.
Nel secondo caso è facile intuire che l' urto non avverrà mai nel vertice del triangolo isolscele ma sempre nel lato obliquo.
Spero di non aver tirato sfondoni :D

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Re: Il trapezio e la pallina

Messaggio da maurizio43 » 10 feb 2014, 10:54

Caro BorisM , mi fa piacere che tu ti sia incuriosito circa il mio quesito e che tu abbia voluto darmi una risposta. Sei però piuttosto lontano dalla soluzione:
- Prima di tutto la proiezione del lato obliquo non può essere $h \sqrt 3 $ ( e anche,quindi, il secondo trapezio non è un triangolo isoscele)

[Ti consiglio una particolare circospezione quando ricavi dati numerici ; se non è iper-complicato è bene dare sempre un’occhiata di controllo alla attendibilità del dato ottenuto :
in questo caso la proiezione risulta essere maggiore del lato, (poiché $\sqrt 3 = 1,71… > 1$) il che è impossibile… E comunque la $tg (30°)$ non è $\sqrt 3 $ ]

- Inoltre è il caso di non dimenticare che la velocità della pallina è un vettore , e che può essere utile -se non necessario- (nell'analisi di qualche tratto del percorso) scomporla in 2 componenti ( di cui si possono considerare gli effetti separatamente fra loro ) . La traiettoria della pallina, poi, non è mai eslusivamente orizzontale... e le velocità con cui sono percorsi i $ 6 $ tratti in cui tu vuoi scomporre il tutto, non sono identiche fra loro : nel primo tratto la velocità varia da zero a un suo valore massimo, nell' ultimo tratto viceversa .
-( Infine, circa la considerazione sul raggiungimento di $ O' $, ricorda che, in assenza di dissipazione, tutta l' energia cinetica nel percorso finale verso $ O' $ viene restituita ) .

Quindi l’intero impianto della soluzione va rivisto : c’è un po’ più di fatica da fare, ma è fattibile…. :)

[ P.S.: Scusami, ma nella mia risposta precedente ho voluto ricordarti che senza attrito la pallina non si mette a rotolare, ma avrei dovuto ricordarti anche che il testo parla di pallina puntiforme, quindi non solo il problema del rotolamento non si pone, ma nemmeno il problema delle sue dimensioni ]

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Re: Il trapezio e la pallina

Messaggio da BorisM » 10 feb 2014, 14:46

maurizio43 ha scritto:Caro BorisM , mi fa piacere che tu ti sia incuriosito circa il mio quesito e che tu abbia voluto darmi una risposta. Sei però piuttosto lontano dalla soluzione:
- Prima di tutto la proiezione del lato obliquo non può essere $h \sqrt 3 $ ( e anche,quindi, il secondo trapezio non è un triangolo isoscele)

[Ti consiglio una particolare circospezione quando ricavi dati numerici ; se non è iper-complicato è bene dare sempre un’occhiata di controllo alla attendibilità del dato ottenuto :
in questo caso la proiezione risulta essere maggiore del lato, (poiché $\sqrt 3 = 1,71… > 1$) il che è impossibile… E comunque la $tg (30°)$ non è $\sqrt 3 $ ]

- Inoltre è il caso di non dimenticare che la velocità della pallina è un vettore , e che può essere utile -se non necessario- (nell'analisi di qualche tratto del percorso) scomporla in 2 componenti ( di cui si possono considerare gli effetti separatamente fra loro ) . La traiettoria della pallina, poi, non è mai eslusivamente orizzontale... e le velocità con cui sono percorsi i $ 6 $ tratti in cui tu vuoi scomporre il tutto, non sono identiche fra loro : nel primo tratto la velocità varia da zero a un suo valore massimo, nell' ultimo tratto viceversa .
-( Infine, circa la considerazione sul raggiungimento di $ O' $, ricorda che, in assenza di dissipazione, tutta l' energia cinetica nel percorso finale verso $ O' $ viene restituita ) .

Quindi l’intero impianto della soluzione va rivisto : c’è un po’ più di fatica da fare, ma è fattibile…. :)

[ P.S.: Scusami, ma nella mia risposta precedente ho voluto ricordarti che senza attrito la pallina non si mette a rotolare, ma avrei dovuto ricordarti anche che il testo parla di pallina puntiforme, quindi non solo il problema del rotolamento non si pone, ma nemmeno il problema delle sue dimensioni ]
Hai ragione. Ho considerato di $30°$ l' angolo tra l' orizzontale ed il lato obliquo quindi i conti sono tutti sbagliati. Riguardo al resto immaginavo di non essermi spiegato bene quindi cercherò di farlo un pò meglio.
Ogni volta che la pallina rimbalza compierà una traiettoria parabolica che ha per componente verticale $h$ e per componente orizzontale il doppio della proiezione del lato obliquo sulla base maggiore e quindi come tu mi hai giustamente corretto $2h/\sqrt 3$. Il tempo che la pallina impiegherà a raggiungere l' altezza h dopo il balzo è uguale al tempo che ha impiegato per raggiungere la base minore dal momento che è stata lasciata. Possiamo quindi tire che ilo tempo trascorso da un rimbalzo all' altro è pari a $2t$ dove $t$ è il tempo che la pallina impiega a raggiungere la base minore dal momento in cui è stata lasciata andare. Quindi per calcolare il tempo totale che la pallina impiega per raggiungere $O'$ si deve prima di tutto vedere che la base maggiore sia $2n$ volte la proiezione del lato obliquo perchè se così non fosse la pallina anzichè arrivare in $O'$ toccherebbe il lato $A'O'$ n un altro punto.
Quindi provo secondo il mio ragionamento a riproporre i calcoli con l' angolo giusto.
La proiezione abbiamo detto che diventa $h/\sqrt 3$ che sta nella base maggiore 20 volte. Quindi basta moltiplicare il tempo che la pallina impiega per raggiungere la base minore per 20 volte. Ricaviamo il tempo dal principio di conservazione dell' energia e dalla legge del moto uniformemente accellerato e troviamo $t=\sqrt {2gh}$ $/g$ e quindi $T_1=\sqrt {2gh}$ $20/g$.
A metà del tempo la pallina si troverà esattamente a metà della base maggiore quindi a $10h/\sqrt 3$
Hai capito qual' era il ragionamento? Continua ad essere sbagliato?

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Re: Il trapezio e la pallina

Messaggio da maurizio43 » 10 feb 2014, 22:11

L' avevo capito ed è un ragionamento efficace (e bello sintetico) se si tratta di voler raggiungere $ A' $ e non di scavalcarlo , ma per quanto riguarda il raggiungere $ O' $ , le tue obiezioni devono tener presente che non sarebbe comunque obbligatorio raggiungerlo al primo tocco su $ A'O' $ ..... :D
Tant' è che ho scelto i dati per far cascare la pallinain $ A' $ ed evitarvi di dover calcolare altri particolari rimbalzi di allontanamento dalle pareti... :wink:


(Diciamo che con quel metodo si trova solo una condizione sufficiente , ma non necessaria, perchè la pallina vada in $ O' $ )

Già che ci sei, insisti anche a trovare la risposta sulla distanza tra i punti medi delle 2 traiettorie. :)

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Re: Il trapezio e la pallina

Messaggio da maurizio43 » 16 feb 2014, 10:39

BorisM ha scritto:Ogni volta che la pallina rimbalza compierà una traiettoria parabolica che ha per componente verticale h e per componente orizzontale il doppio della proiezione del lato obliquo sulla base maggiore e quindi come tu mi hai giustamente corretto 2h/3√.
Proseguo il mio commento, visto che non rispondi ancora :) :
Anche se l'impianto del tuo ragionamento è basato su una buona sintesi che esclude tanti calcoletti, ci sono sbavature che "dirottano" qualche conclusione.
Una è concettuale : sei proprio sicuro che il vertice della traiettoria verso l' alto sia ad altezza $ h $ ?
Una seconda : sei proprio sicuro che siano uguali tra loro le proiezioni (sulla base) del lato obliquo del trapezio e dell' arco ascendente della traiettoria della pallina ?
(Fermi restando i discorsi su tempo di salita e tempo di discesa)

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Re: Il trapezio e la pallina

Messaggio da BorisM » 19 mar 2014, 20:23

maurizio43 ha scritto:
BorisM ha scritto:Ogni volta che la pallina rimbalza compierà una traiettoria parabolica che ha per componente verticale h e per componente orizzontale il doppio della proiezione del lato obliquo sulla base maggiore e quindi come tu mi hai giustamente corretto 2h/3√.
Proseguo il mio commento, visto che non rispondi ancora :) :
Anche se l'impianto del tuo ragionamento è basato su una buona sintesi che esclude tanti calcoletti, ci sono sbavature che "dirottano" qualche conclusione.
Una è concettuale : sei proprio sicuro che il vertice della traiettoria verso l' alto sia ad altezza $ h $ ?
Una seconda : sei proprio sicuro che siano uguali tra loro le proiezioni (sulla base) del lato obliquo del trapezio e dell' arco ascendente della traiettoria della pallina ?
(Fermi restando i discorsi su tempo di salita e tempo di discesa)
Ciao maurizio ! Innanzi tutto mi scuso per non aver risposto prima ma in quest' ultimo periodo sono entrato poche volte sul forum.
Per quanto riguarda le sbavature che mi hai fatto notare non capisco perchè il vertice dell' arco non dovrebbe trovarsi alla stessa altezza $h$ di partenza.
Se il materiale è completamente elastico ciò significa che anche l' urto è completamente elastico e ciò comporta che l' energia cinetica sia la stessa prima e dopo l' urto.
Essendo l' energia cinetica uguale prima e dopo l' urto per il principio di conservazione dell' energia tutta l' energia cinetica si trasforma in energia potenziale ed anche esse saranno uguali e ciò comporta che le altezze siano uguali. Quindi non riesco a capire dove è l' errore del ragionamento e sono fermo al punto di prima. Naturalmente se capissi come mai il vertice non è alla stessa altezza avrei risolto anche la seconda sbavatura che mi hai fatto notare e forse raggiungerei la soluzione del problema.
Quindi sono un pò spaesato :roll:

maurizio43
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Re: Il trapezio e la pallina

Messaggio da maurizio43 » 19 mar 2014, 23:28

BorisM ha scritto: Ciao maurizio ! Innanzi tutto mi scuso per non aver risposto prima ma in quest' ultimo periodo sono entrato poche volte sul forum.
Per quanto riguarda le sbavature che mi hai fatto notare non capisco perchè il vertice dell' arco non dovrebbe trovarsi alla stessa altezza $h$ di partenza.
Se il materiale è completamente elastico ciò significa che anche l' urto è completamente elastico e ciò comporta che l' energia cinetica sia la stessa prima e dopo l' urto.
Essendo l' energia cinetica uguale prima e dopo l' urto per il principio di conservazione dell' energia tutta l' energia cinetica si trasforma in energia potenziale ed anche esse saranno uguali e ciò comporta che le altezze siano uguali. Quindi non riesco a capire dove è l' errore del ragionamento e sono fermo al punto di prima. Naturalmente se capissi come mai il vertice non è alla stessa altezza avrei risolto anche la seconda sbavatura che mi hai fatto notare e forse raggiungerei la soluzione del problema.
Caro Boris, per educazione nei tuoi confronti credo di doverti dare una risposta ( anche se è meglio evitare miei interventi sul Forum, che sono troppo spesso causa di stonature, malumori e incomprensioni) :

Se il moto della pallina fosse esclusivamente verticale, giustamente tutta l’energia potenziale iniziale, trasformatasi tutta in energia cinetica al momento dell’ impatto col fondo, ritorna – nel moto di rimbalzo verticale- a trasformarsi integralmente in energia potenziale quando ritorna ad altezza $ h $ .
Però nel nostro caso la pallina viene lasciata andare su un piano inclinato, quindi al momento dell’impatto sul fondo la sua velocità è un vettore diretto come il lato del trapezio, e ha una componente verticale $v_y $ e una componente orizzontale $ v_x $ .
Il rimbalzo ha effetto sulla componente verticale, mentre la componente $ v_x $ non è disturbata da alcuna forza, quindi resta inalterata.
Ne consegue che al vertice della traiettoria di rimbalzo (prima di ridiscendere) la pallina conserva ancora una velocità $ v_x $ , mentre $ v_y $ si è annullata.
Quindi in quel punto l’energia della pallina è la somma di una energia potenziale (dovuta alla quota raggiunta) e di una energia cinetica (dovuta alla velocità secondo l' asse $ x $).
Poiché l’energia totale si conserva , ciò significa che l’energia potenziale al vertice della traiettoria è minore dell’energia potenziale al momento del rilascio della pallina, ovvero che l’altezza raggiunta al vertice del ritorno è inferiore all’ altezza iniziale.

Spero di non essere stato troppo pedante, ma ho cercato di dare una risposta esauriente.
Ti saluto con simpatia.

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