pitagora chi?

Giochini matematici elementari ma non olimpici.
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ma_go
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pitagora chi?

Messaggio da ma_go » 15 gen 2014, 10:58

in linea con gli ultimi due thread (ma un po' più semplice, ed indipendente da loro)...

1. calcolare l'area del triangolo equilatero, supposto*.
2. calcolare la lunghezza della diagonale del quadrato, supposto*.

* Senza Usare Proprio Pitagora (O STrani Orpelli).

maurizio43
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Re: pitagora chi?

Messaggio da maurizio43 » 15 gen 2014, 12:36

Va bene se ricavo tutto dalla formula di Erone ?

Triangolo equilatero :
-----------------------
Semiperimetro : $p=\dfrac{3l}{2}$
Semiperimetro meno un lato : $p-l= \dfrac{l}{2}$
Area= $\sqrt{p(p-l)(p-l)(p-l)} = \dfrac{1}{4}\sqrt(3l^4) = \dfrac{l^2}{4}\sqrt 3 = \dfrac{1}{2} l \sqrt 3 \dfrac{l}{2}$
Da cui anche l' altezza : $h= \sqrt 3 \dfrac{l}{2}$

Quadrato :
----------
L'area di uno dei 2 triangoli ottenuti tracciando la diagonale $d$ nel quadrato di lato $l$ è $A= l^2 \dfrac {1}{2}$
Per applicare la formula di Erone possiamo scrivere : $p=\dfrac{2l+d}{2}$ ; $p-a=\dfrac{2l+d}{2}-l$ ; $p-b=\dfrac{2l+d}{2}-l$ ; $p-c=\dfrac{2l+d}{2}-d$
ovvero : $p(p-a)(p-b)(p-c) = \dfrac{2l+d}{2} \dfrac {d}{2} \dfrac {d}{2} \dfrac {2l-d}{2} = \dfrac {1}{16} d^2 (4l^2-d^2)$
Segue che : $\dfrac{l^2}{2} = \dfrac{1}{4} \sqrt(4l^2d^2 - d^4) $
da cui : $d^4-4l^2d^2+4l^4=0$ , cioè $d^2=2l^2$ ===> $d=l \sqrt 2$
_____________________________________________________________

Il che può servire per validare la mia risposta precedente sull' altro quesito < rapporti voluminosi > . Giusto ? :)

ma_go
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Re: pitagora chi?

Messaggio da ma_go » 15 gen 2014, 13:24

considero erone come uno strano orpello (ben strano).
riguardo all'altro thread, ho modificato la mia risposta.

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karlosson_sul_tetto
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Re: pitagora chi?

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 15 gen 2014, 15:03

Uso il teorema dei coseni applicato ai triangoli rettang...no babeh
1)Nel triangolo $ABC$ traccio un'altezza $AD$ che passa per l'ortocentro $H$. Dato che il triangolo è equilatero, essa è anche mediana e quindi $HA=3HD$. $\triangle ABD$ e $\triangle BDH$ sono simili, quindi $DH:BD=BD:AH$, ovvero $\frac{1}{3} AH^2=\frac{1}{4} CB^2$, segue $AH=\frac{\sqrt{3}}{2} CB$ e l'area è $\frac{CB\cdot AH}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}AB^2$.
2) Prendo un quadrato di lato $l$ e diagonale $d$ e "ci attacco" altri tre quadrati in modo da formare un grande quadrato di lato $2l$. Traccio una diagonale in ciascuno dei 4 quadrati in modo da formare un quadrato di lato $d$ e diagonale $2l$. Poiché il rapporto tra la diagonale e un lato è sempre costante (si può dimostrare per omotetia, in questo caso anche per rotometia :lol: ), si ha: $l:d=d:2l$, dando $d=l\sqrt{2}$
"Inequality happens"
---
"Chissa se la fanno anche da asporto"

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Re: pitagora chi?

Messaggio da ma_go » 15 gen 2014, 15:49

karlosson_sul_tetto ha scritto:1)Nel triangolo $ABC$ traccio un'altezza $AD$ che passa per l'ortocentro $H$. Dato che il triangolo è equilatero, essa è anche mediana e quindi $HA=3HD$. $\triangle ABD$ e $\triangle BDH$ sono simili, quindi $DH:BD=BD:AH$, ovvero $\frac{1}{3} AH^2=\frac{1}{4} CB^2$, segue $AH=\frac{\sqrt{3}}{2} CB$ e l'area è $\frac{CB\cdot AH}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}AB^2$.
in alternativa, si può anche osservare che $BDH$ e $BCH$ fanno un triangolino equilatero (e questo evita di passare per il conto con la mediana, visto che segue subito che $2\cdot DH = BH$), e fare i rapporti tra le aree per beccare il rapporto altezza/lato.
ma la tua soluzione va bene (anche del secondo) :) .

maurizio43
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Re: pitagora chi?

Messaggio da maurizio43 » 26 gen 2014, 20:49

ma_go ha scritto:considero erone come uno strano orpello (ben strano).
Scusa, ( solo per pura curiosità :) ) che male ti ha fatto Erone per considerarne il teorema come un ben strano orpello ?
In fin dei conti conoscere i soli 3 lati di un triangolo qualunque e ricavane l' area e le 3 altezze mi sembra una comodità che in certi casi non è disprezzabile.
( Come pure, per un quadrilatero "stortignaccolo" qualunque ricavarne l' area dai soli 4 lati e da una diagonale ) :wink:

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Re: pitagora chi?

Messaggio da ma_go » 31 gen 2014, 14:41

maurizio43 ha scritto:
ma_go ha scritto:considero erone come uno strano orpello (ben strano).
Scusa, ( solo per pura curiosità :) ) che male ti ha fatto Erone per considerarne il teorema come un ben strano orpello ?
In fin dei conti conoscere i soli 3 lati di un triangolo qualunque e ricavane l' area e le 3 altezze mi sembra una comodità che in certi casi non è disprezzabile.
( Come pure, per un quadrilatero "stortignaccolo" qualunque ricavarne l' area dai soli 4 lati e da una diagonale ) :wink:
non ho niente contro erone in sé. lo considero uno "strano orpello" nel senso che *dal mio punto di vista* è più avanzato e più complicato di pitagora. siccome in questo thread volevo delle dimostrazioni più elementari e più intuitive, non credo che invocare erone risponda alla richiesta, tutto qui.

[che poi, applicare erone di solito proprio non mi piace, quindi non è neanche vero che non ho niente contro la sua formula. niente di razionale, in ogni caso.]

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