Ammorteeee!

Giochini matematici elementari ma non olimpici.
ndp15
Messaggi: 598
Iscritto il: 18 gen 2007, 19:01

Re: Ammorteeee!

Messaggio da ndp15 »

Sì è giusta.
Avatar utente
jordan
Messaggi: 3988
Iscritto il: 02 feb 2007, 21:19
Località: Pescara
Contatta:

Re: Ammorteeee!

Messaggio da jordan »

_Ipazia_ ha scritto:Così fanno tutti e si salvano, indipendentemente da quanti sono.
Piu' o meno: se sono infinito (numerabile) non funziona
The only goal of science is the honor of the human spirit.
_Ipazia_
Messaggi: 50
Iscritto il: 23 feb 2013, 15:23

Re: Ammorteeee!

Messaggio da _Ipazia_ »

ndp15 ha scritto:Sì è giusta.
Oh bene, finalmente. Bel problema davvero
jordan ha scritto:
_Ipazia_ ha scritto:Così fanno tutti e si salvano, indipendentemente da quanti sono.
Piu' o meno: se sono infinito (numerabile) non funziona
Ah giusto
“SE ASCOLTO DIMENTICO, SE GUARDO IMPARO, SE FACCIO CAPISCO”
Avatar utente
simone256
Messaggi: 452
Iscritto il: 07 mag 2012, 16:10
Località: Crema

Re: Ammorteeee!

Messaggio da simone256 »

jordan ha scritto:
_Ipazia_ ha scritto:Così fanno tutti e si salvano, indipendentemente da quanti sono.
Piu' o meno: se sono infinito (numerabile) non funziona
Scusate ragazzi ma mi manca il concetto di infinito numerabile :oops:
$ \mbox{ }\mbox{ } $And God said : $ \displaystyle c^2 \mu_0 \varepsilon_0 =1 $,
and then there was light.


$ \mbox{ }\mbox{ } $Tsune ni shinen kufu seyo
Triarii
Messaggi: 464
Iscritto il: 18 nov 2010, 21:14

Re: Ammorteeee!

Messaggio da Triarii »

Si dice che un insieme è infinito numerabile se puoi ordinare i propri elementi in una qualche relazione. Per i naturali è abbastanza ovvia (basta la relazione "maggiore/minore di". Per dimostrare la numerabilità dei razionali ovviamente non si può utilizzare il concetto di successivo, tuttavia si può usare il metodo usato da Cantor: disporre tutti gli elementi razionali in righe e colonne (sulle righe si aumenta il numeratore di 1 verso destra, sulle colonne il denominatore) e si procede lungo le "diagonali" (dopo aver cancellato gli elementi doppi). In questo modo abbiamo ordinato i razionali, che formano un insieme infinito numerabile (http://it.wikipedia.org/wiki/Numeri_razionali) la figurina nella sezione appropriata dovrebbe chiarirti le idee visto che mi sono spiegato da cani.
Al contrario i reali non si possono ordinare, quindi si dice che sono un insieme infinto non numerabile
"We' Inge!"
LTE4LYF
Avatar utente
simone256
Messaggi: 452
Iscritto il: 07 mag 2012, 16:10
Località: Crema

Re: Ammorteeee!

Messaggio da simone256 »

Triarii ha scritto:metodo usato da Cantor
Ma che figata :shock:
$ \mbox{ }\mbox{ } $And God said : $ \displaystyle c^2 \mu_0 \varepsilon_0 =1 $,
and then there was light.


$ \mbox{ }\mbox{ } $Tsune ni shinen kufu seyo
ndp15
Messaggi: 598
Iscritto il: 18 gen 2007, 19:01

Re: Ammorteeee!

Messaggio da ndp15 »

Triarii che intendi per ordinare in una relazione? Perché il concetto che mi viene in mente è quello di relazione d'ordine (si veda wikipedia) ma non centra con la definizione di infinito numerabile.
Quest'ultima suona invece come: un insieme si dice che ha cardinalità infinito numerabile se i suoi elementi possono essere messi in corrispondenza biunivoca con gli elementi di $ \mathbb{N} $
Ad esempio hanno questa proprietà $ \mathbb{N} $ stesso (ovviamente), l'insieme dei numeri pari (perchè?), l'insieme dei numeri razionali (e la dimostrazione è quella di cui ha parlato Triarii).
Triarii
Messaggi: 464
Iscritto il: 18 nov 2010, 21:14

Re: Ammorteeee!

Messaggio da Triarii »

Sì, mi sono spiegato male. Quando dico ordinare intendo riuscire a trovare una successione che contenga tutti gli elementi dell'insieme. In questo modo è possibile metterli in corrispondenza biunivoca con N perchè appunto li riesci a "contare". O mi sto sbagliando?
"We' Inge!"
LTE4LYF
Avatar utente
simone256
Messaggi: 452
Iscritto il: 07 mag 2012, 16:10
Località: Crema

Re: Ammorteeee!

Messaggio da simone256 »

ndp15 ha scritto:l'insieme dei numeri pari (perchè?)
Banalmente associamo all' $ n $esimo numero pari il $ 2n $esimo numero naturale... :)
No però mi sembra troppo facile... Non so se ho capito perfettamente D:
$ Z $ ha cardinalità infinito numerabile? Potrei creare un doppio indice come per il caso dei razionali? (Uno per il modulo e uno per il segno)...
Ma la dimostrazione di cui ha parlato Triarii non è biunivoca... O no? :cry:
$ \mbox{ }\mbox{ } $And God said : $ \displaystyle c^2 \mu_0 \varepsilon_0 =1 $,
and then there was light.


$ \mbox{ }\mbox{ } $Tsune ni shinen kufu seyo
Avatar utente
jordan
Messaggi: 3988
Iscritto il: 02 feb 2007, 21:19
Località: Pescara
Contatta:

Re: Ammorteeee!

Messaggio da jordan »

simone256 ha scritto:Banalmente associamo all' $ n $esimo numero pari il $ 2n $esimo numero naturale... :)
Ancora non ci siamo: quindi che numero pari sarebbe associato al 7?
simone256 ha scritto:$ \mathbb{Z} $ ha cardinalità infinito numerabile?
Sì..
simone256 ha scritto:Potrei creare un doppio indice come per il caso dei razionali? (Uno per il modulo e uno per il segno)...
Devi semplicemente creare una funzione biettiva tra $\mathbb{N}$ e $\mathbb{Z}$, come è stato fatto tra $\mathbb{N}$ e $\mathbb{Q}$ (è davvero biettiva?)..

Bonus: mostrare che l'insieme dei polinomi a coefficienti razionali è numerabile.
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Avatar utente
simone256
Messaggi: 452
Iscritto il: 07 mag 2012, 16:10
Località: Crema

Re: Ammorteeee!

Messaggio da simone256 »

Ecco c'è la questione del "biettiva"...
Ma scusa nella relazione tra naturali e razionali noi abbiamo che per più coppie di numeri naturali otteniamo lo stesso numero razionale... Ameno che consideriamo $ \frac ab $ diverso da $ \frac{ka}{kb} $ :roll: (come si fa il simbolo "diverso"?)
Oh aspettate... Io ho delle basi di teoria mostruosamente indecenti e posso dire grandi minchiate... Non offendetevi :mrgreen:
Mentre per il caso dei pari potremmo dire che al $ n $esimo numero pari associamo l'$ n $esimo numero naturale?
Quindi 7 lo assoceremmo con 14...
:|
jordan ha scritto:Bonus: mostrare che l'insieme dei polinomi a coefficienti razionali è numerabile.
Beh possiamo considerare un qualsiasi polinomio di grado $ n $:
Per il primo termine associamo un numero razionale sapendo che esso ha cardinalità infinito numerabile; e a sua volta è generato da due numeri interi...
Per il secondo...
...
Per il termine noto...

Quindi avremo $ n+1 $ numeri razionali (i coefficienti) quindi una funzione biettiva che associa un polinomio di grado $ n $ a $ 2(n+1) $ numeri naturali!

Piccola considerazione:
Conosco poco le funzioni e il concetto di biettività soprattutto se entrano in gioco più variabili
Ho detto di sicuro un sacco di bestiate quindi... Scusate :roll:

P.s.
Nella dimostrazione di triari... Se il denominatore è $ 0 $... Chefammo? D:
$ \mbox{ }\mbox{ } $And God said : $ \displaystyle c^2 \mu_0 \varepsilon_0 =1 $,
and then there was light.


$ \mbox{ }\mbox{ } $Tsune ni shinen kufu seyo
Avatar utente
simone256
Messaggi: 452
Iscritto il: 07 mag 2012, 16:10
Località: Crema

Re: Ammorteeee!

Messaggio da simone256 »

simone256 ha scritto:
Triarii ha scritto:metodo usato da Cantor
Ma che figata :shock:
Pensandoci è abbastanza banale... :oops:
Anche se il concetto generale sembra chiaro, in realtà sono convinto che mi sia sfuggito ancora qualche particolare "formale"...
Ma una funzione avente (per esempio) due variabili indipendenti $ x $ e $ y $ si dice biunivoca se per ogni coppia $ (x,y) $ abbiamo un valore $ z $ e se per $ (x,y)_1 $ diverso da $ (x,y)_2 $ allora $ z_1 $ diverso da $ z_2 $?
A proposito... Non so neanche se esistono funzioni di questo tipo :roll:
:oops: :oops: :oops:
$ \mbox{ }\mbox{ } $And God said : $ \displaystyle c^2 \mu_0 \varepsilon_0 =1 $,
and then there was light.


$ \mbox{ }\mbox{ } $Tsune ni shinen kufu seyo
Triarii
Messaggi: 464
Iscritto il: 18 nov 2010, 21:14

Re: Ammorteeee!

Messaggio da Triarii »

Mi pare ovvio che lo 0 al denominatore non lo metti... poi ho detto che i numeri doppi vanno eliminati :)
"We' Inge!"
LTE4LYF
Avatar utente
jordan
Messaggi: 3988
Iscritto il: 02 feb 2007, 21:19
Località: Pescara
Contatta:

Numerabilità

Messaggio da jordan »

Prima di provare a risolvere quello dei polinomi a coefficienti razionali, devi per lo meno essere sicuro che $\mathbb{Q}$ è numerabile, visto che quell'insieme contiene tutti polinomi della forma $ax$ con $a$ razionale, per cui avrà un numero di elementi "a occhio" maggiore di quello dei razionali..

In ordine:

1) Come dimostri che l'insieme degli interi pari positivi è numerabile?

2) Come dimostri che l'insieme degli interi è numerabile?

3) Come dimostri che l'insieme degli interi pari è numerabile?

4) Come dimostri che l'insieme dei razionali positivi è numerabile?

5) Come dimostri che l'insieme dei razionali è numerabile?


Ps. Non è quello per cui è nato il problema, nè la sezione giusta, ma sapere queste cose non fa sicuro male!
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Avatar utente
simone256
Messaggi: 452
Iscritto il: 07 mag 2012, 16:10
Località: Crema

Re: Ammorteeee!

Messaggio da simone256 »

Triarii ha scritto:Mi pare ovvio che lo 0 al denominatore non lo metti... poi ho detto che i numeri doppi vanno eliminati :)
In questo modo rispettiamo la biettivitá della funzione? Non è che facciamo troppi... magheggi?
Jordan domani provo che ho già una mezza idea sui primi... Però adesso sono sul cellulare... a domani! :)
$ \mbox{ }\mbox{ } $And God said : $ \displaystyle c^2 \mu_0 \varepsilon_0 =1 $,
and then there was light.


$ \mbox{ }\mbox{ } $Tsune ni shinen kufu seyo
Rispondi