OliForum Matematico

Vi propongo il seguente problema, sperando che arrivi qualche dimostrazione rigorosa che io, francamente, non sono riuscito a trovare.

Come sempre, bisogna sostituire a una lettera sempre la stessa cifra e, a due lettere diverse, due cifre diverse; nessun numero comincia con 0. Dite quanto vale “DEUX” perché sia vera l’uguaglianza :

UN x UN + UN = DEUX

[Giochi d'Autunno 2012]

Per caso è ?

In pratica chiedi di risolvere la diofantea \[ (10a+b)(10a+b+1)=1000x+100y+10a+z \]
sotto i vincoli $a,x \in \{1,2,\ldots,9\}$ e $b,y,z \in \{0,1,2,\ldots,9\}$ e che tutte le 5 variabili siano distinte.

Qualcosa al volo: modulo $10$ si ha $b \neq 0$, e $1 \le x \le 9$ implica $1234 \le (10a+b)(10a+b+1) \le 9876$ per cui $x \in \{3,4,\ldots,9\}$. Solo con questo risolveremmo il problema risolvendo al massimo $7\cdot 9-7$ moltiplicazioni ( il -7 riferito al fatto che $a \neq b$, e in verità anche di meno visto che $10a+b>33$), il che rende il problema solo "contoso"

Nota (credo inutile): Se un primo dispari $p\ge 3$ verifica $p \mid x^2+x$ per qualche intero $x$ allora $p\mid 4x^2+4x$ che è equivalente a $p\mid (2x-1)^2+1$; quindi se $p\nmid x$ allora necessariamente $4\mid p-1$.

jordan ha scritto:In pratica chiedi di risolvere la diofantea \[ (10a+b)(10a+b+1)=1000x+100y+10a+z \]
sotto i vincoli $a,x \in \{1,2,\ldots,9\}$ e $b,y,z \in \{0,1,2,\ldots,9\}$ e che tutte le 5 variabili siano distinte.

Qualcosa al volo: modulo $10$ si ha $b \neq 0$, e $1 \le x \le 9$ implica $1234 \le (10a+b)(10a+b+1) \le 9876$ per cui $x \in \{3,4,\ldots,9\}$. Solo con questo risolveremmo il problema risolvendo al massimo $7\cdot 9-7$ moltiplicazioni ( il -7 riferito al fatto che $a \neq b$, e in verità anche di meno visto che $10a+b>33$), il che rende il problema solo "contoso"

Nota (credo inutile): Se un primo dispari $p\ge 3$ verifica $p \mid x^2+x$ per qualche intero $x$ allora $p\mid 4x^2+4x$ che è equivalente a $p\mid (2x-1)^2+1$; quindi se $p\nmid x$ allora necessariamente $4\mid p-1$.

MATEMATICA RICREATIVAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

Ecco la soluzione scritta decentemente.

Possiamo riscrivere come

$ UN(UN+1)=DEUX $

quindi DEUX è il prodotto di due numeri consecutivi, necessariamente dunque uno è pari ed uno è dispari, il loro prodotto sarà dunque pari: quindi la $ X $ può assumere i valori $ 0,2,4,6,8 $. Consideriamo però che DEUX è il risultato di un prodotto tra due numeri consecutivi e che la cifra delle unità di un prodotto è banalmente il prodotto delle cifre delle unità dei due numeri, quindi per essere 0 le cifre delle unità dei due numeri dovrebbero essere rispettivamente (0,1) (IMPOSSIBILE, X è diverso da N), per essere 2 dovrebbero essere (1,2) (possibile solo per $ N+1=X $) o (6,7) , 4 non si può mai ottenere, per essere 6 dovrebbero essere (2,3) o (7,8), ed 8 non si può mai ottenere.
Dopo pochi tentativi si vede che funziona per X=2 e N=6, che porta a DEUX=7482.