problemino col resto

Giochini matematici elementari ma non olimpici.
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nic.h.97
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problemino col resto

Messaggio da nic.h.97 » 20 giu 2012, 00:45

Il bardo Assuranceturing ha composto una nuova ballata per celebrare la partenza per la Britannia. Siccome
ama strafare, al posto della classica strofa “44 Galli in fila per 6 col resto di 2” ha deciso di cantare
“1!+2!+3!+4!+...+2011! Britanni in fila per 576 col resto di k”. Ovviamente viene legato e imbavagliato
prima di poter finire, e Borelix si domanda: chissà quanto sarebbe stato il valore di k?

(fonte: olimpiadi di matematica 2011 gara a squadra)

scusate se lo posto qua ,nonostante sia delle olimpiadi, ma non mi pare poi cosi complicato...


la risposta dovrebbe essere 153 di resto , a me invece esce 154 ...

quel che ho fatto io è trovare la somma dei britanni , 1 + 2+ 3 + 4 + 5 ....... fino a .... 2011 ovvero 2011 ( 2011 + 1) tutto fratto 2 [2011 * 2012]/2$ $
dopodichè trovo il resto 2023066 / 576 e a me il resto esce 154 ..

mi aiutate a risolvere questo problema ?

ant.py
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Re: problemino col resto

Messaggio da ant.py » 20 giu 2012, 07:10

Non è 1 +2+3+... Ma 1!+2!+3!... (ovvero 1+2+6+...) insomma hai dimenticato i fattoriali
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Alepedra96
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Re: problemino col resto

Messaggio da Alepedra96 » 20 giu 2012, 13:44

Come prima cosa ti consiglio di usare il latex così risulta più comprensibile :D
Poi il problema è facile, infatti i fattoriali hanno molti fattori(scusami per il gioco di parole) e noti subito che se $ m|n! $ allora $ m|(n+1)! $
Siccome $ 576=2^6*3^2 $ per tentativi vedi che il primo fattoriale divisibile è $ 8! $
Quindi $ \sum_{n=1}^{2011} n! \equiv \sum_{n=1}^7 n! \pmod{576} $ e si vede facilmente che la seconda è congrua a $ 153 $
Se non ti è chiaro qualche passaggio chiedi pure :D
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nic.h.97
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Re: problemino col resto

Messaggio da nic.h.97 » 21 giu 2012, 02:35

per quanto riguarda la tex , non so come si usi... son[url][url]o nuovo di questo forum , ma mi è sembrato di capire che devo scrivere $ [tex] $ agli estremi delle formule che devo scrivere in inglese giusto?
per l'esercizio , perchè hai diviso 576 in fattori primi? e poi non ho capito la formula che applichi per trovare la somma di tutti i fattoriali fino a 2011...
ho letto qualcosa delle divisioni col resto dato che è un argomento che ancora non conoscevo . insomma , non ho capito dalla terzultima riga in poi... se nn ti dispiace me le spiegheresti? grazie in anticipo.

p.s. in questo forum mi sembra che ne sappiate a pacchi,molte cose da voi trattate sono cose che non conosco e mi sembrate tutti cosi brillanti ...ma uno dei motivi per cui mi sono iscritto è imparare! :D

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Re: problemino col resto

Messaggio da Alepedra96 » 21 giu 2012, 13:21

Ok provo a rispiegare meglio:
Se hai una somma e vuoi sapere a cosa è congrua puoi sostituire ogni addendo con il numero minore a cui e congruo per semplificare i calcoli,
per esempio se vuoi trovare $ (100+101+102) \bmod 100 $ basta fare $ 100\bmod 100+101 \bmod 100+102 \bmod 100 $, che con questo esempio sembrerà inutile ma nel problema è utilissimo. Osserva poi i primi fattoriali e vedi che sono $ 1*2*3*2^2*5*(3*2)*7*2^3*3^3*(5*2).... $ e cerca di capire dove fermarti affinché sia
divisibile per 576(ecco perché ho scomposto in fattori, perché è più facile vedere se è divisibile o meno), e noti che devi fermarti a 8.
Quindi da 8 in poi sono tutti divisibili per 576 e li sostituisci con zero. Ti rimane da calcolare $ 1!+2!+3!+...7! $ e ora calcoli la somma e trovi il resto.
Per calcolare la somma non penso ci sia una formula, ma se ti riferiva a questo $ \sum_{n=1}^7 n! $ e solo un modo conciso di scrivere la somma
dei fattoriali da 1a 7 :D

P.S per il LaTeX guardati qualche guida, se non vuoi imparare nulla a memoria vai qui http://it.wikisource.org/wiki/Aiuto:For ... atiche_TeX
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Re: problemino col resto

Messaggio da nic.h.97 » 22 giu 2012, 17:59

ma con (100 + 101 + 102) mod 100 , i minori congrui a ciascuno di essi non sarebbero rispettivamente 0 mod 100 + 1 mod 100 + 2 mod 100 ?
quindi ,tutti i fattoriali che sono maggiori del fattoriale minore divisibile per 576 , anch'essi avranno resto 0 , dato che sono dei probotti nella quale si aggiunge un fattore e gli altri rimangono invariati. beh questo doveva essere ovvio , anche se non mi era venuto in mente xD
poi trovo i resti di ciascun fattoriale che sono
1 mod 576 = 1
2 mod 576 = 2
3 mod 576 = 6
4 mod 576 = 24
5 mod 576 = 120
6 mod 576 = 144
7 mod 576 = 432

la sommatoria dei resti è maggiore di 576 , infatti = 729 ovvero( 576+153 ) che diviso per 576 dara' resto 153
comunque grazie è tutto chiaro ora

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Re: problemino col resto

Messaggio da Alepedra96 » 22 giu 2012, 18:03

Si hai ragione, nell'esempio io avevo riscritto 100, 101 e 102 per farti capire :D
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