Distanza parabola retta

[Claudio.]

L'hanno fatto oggi in classe (non generalizzato) ma in modo esageratamente palloso
Non sapevo dove metterlo, siccome è abbastanza scolastico lo metto quì. Però ha qualcosa di leggermente non scolastico ^^
Date una parabola $y=ax^2+bx+c$ e una retta $y=mx+q$, che non si intersecano, determinare il punto della parabola con distanza minima dalla retta.

[Mike]

Penso che la via più breve sia quella di determinare la tangente alla parabola tale che sia parallela alla nostra retta. A questo punto il punto di tangenza sarà il punto a minima distanza. Quindi, essendo la derivata della parabola $ y'=2ax+b $, si ha, imponendo che essa sia uguale a m, $ x=\frac{m-b}{2a} $, e quindi il punto è $ (\frac{m-b}{2a}, f(\frac{m-b}{2a})) $...

[Claudio.]

Si, ma va dimostrato, per questo a scuola è bandito

[Mike]

Dunque, ecco una possibile dimostrazione:
Noi sappiamo che la retta e la parabola non si intersecano. A questo punto consideriamo la retta parallela alla nostra, e tangente alla parabola. Un punto della parabola avrà dalla mia prima retta una distanza pari alla distanza dalla tangente sommata alla distanza tra le due rette. Essendo quest'ultima fissa, devo minimizzare la distanza tra un punto e la tangente; ma allora bisogna prendere il punto di tangenza, poiché la sua distanza dalla tangente è nulla.

[ant.py]

Secondo me manca qualcosa.. Ovvero, dovresti Dimostrare prima che la distanza punto parabola - (punto di tangenza parrallela a una retta) sia sempre maggiore o uguale a zero (intendo, una parte della parabola potrebbe essere più vicina alla retta di quanto lo sia la tangente, e in questo caso la distanza sarebbe negativa. ma ripensandoci credo basti il fatto che una parabola si mantiene tutta da una stessa parte rispetto alla tangente per concludere)

[Kopernik]

Non manca niente; la dimostrazione di è completa (perfino a scuola...); infatti tutti gli altri punti della parabola distano dalla prima retta più dei punti della tangente, e quindi, in particolare, più del punto di tangenza.

[ma_go]

mah. un modo meno fumoso è questo.
la distanza di un punto $(x_0,y_0)$ dalla retta $y=mx+q$ è data dalla formula $|mx_0-y_0+q|/\sqrt{1+m^2}$. la distanza parabola-retta è quindi $\displaystyle\min_{t\in\mathbb{R}}\frac{|mt-(at^2+bt+c)|}{\sqrt{1+m^2}}$.
siccome retta e parabola sono disgiunte, il segno della cosa dentro il valore assoluto non cambia mai. supponiamo che $a$ sia positivo (se fosse negativo, potremmo sempre riflettere tutto rispetto all'asse x), ovvero che il segno dentro parentesi sia sempre $-$. salta fuori che dobbiamo minimizzare $at^2+(b-m)t+(c-q)$: ma questa è l'equazione di una parabola, e il minimo si ha per $t=(m-b)/2a$.