OliForum Matematico

Un problemino famoso per i più giovani.
Oggi ho comprato una piantina alta 1 cm e mi hanno detto che questa piantina cresce di 1/30 della sua altezza ogni giorno. Inoltre mi hanno detto di stare attento perchè in meno di un anno avrebbe superato i 40 metri. Sapreste dirmi senza calcolatrice se mentivano o dicevano il vero?

Supponendo che i giorni dell'anno siano 365, allora l'altezza sarà:
$ 1+\displaystyle\frac{1}{30}+\displaystyle\frac{1}{30}\left(1+\displaystyle\frac{1}{30}\right)+\displaystyle\frac{1}{30} \cdot \displaystyle\frac{1}{30}\left(1+\displaystyle\frac{1}{30}\right)+..... $ che è uguale ad:
$ 1+\displaystyle\frac{1}{30}+\displaystyle\sum_{i=1}^{363}\displaystyle\frac{1}{30^i} \cdot \left(1+\displaystyle\frac{1}{30}\right) $.
Adesso semplifico: $ 2+\displaystyle\frac{1}{15}+\displaystyle\sum_{i=1}^{363}\displaystyle\frac{1}{30^i}=2+\displaystyle\frac{1}{15}+\displaystyle\frac{1}{1-\displaystyle\frac{1}{30}}-1<4000 $, mi hanno mentito.

il primo passaggio è sbagliato se ci pensi su un po'... aumenta di 1/30 rispetto al precedente. Inoltre 40 m = 4000 cm

Viene $\displaystyle \left(\frac{31}{30}\right)^n$

Riesumo questo post perchè una domanda del genere c'era anche nella fase regionale.
Se la piantina il primo giorno ha altezza 1 cm , il giorno dopo l'altezza non sarà $ 1 + \frac{1}{30} $, il terzo giorno sarà l'altezza del giorno precedente più quanto cresce: $ 1+\frac{1}{30}+\frac{1}{30}(1+\frac{1}{30} ) $. Claudio puoi spiegarmi perché ti viene così?

$1+\frac{1}{30}=\frac{31}{30}$

Siccome ogni giorno cresce di 1/30, la sua altezza totale è di 31/30 rispetto al giorno precedente... è una banale progressone geometrica che parte da 1 con ragione 31/30, ovvero tutte le potenze di 31/30

qualcuno mi spiegherebbe la formula che somma tutte le altezze che variano nei giorni in un anno? (quella che ha applicato hawk)

inoltre, senza usare la calcolatrice , c'era qualche modo per arrrivarci ?