Esagono ciclico

[Sonner]

Domanda trovata su un quotidiano, l'ho trovata carina e neanche troppo facile (considerando che non è una rivista di matematica ma un giornale che leggono tutti). Scrivo quel che mi ricordo dell'ambientazione

Tizio ha un prato circolare con 6 alberi sulla circonferenza. Cammina da un albero all'altro in linea retta e trova che le distanze tra gli alberi sono 12, 12, 19, 19, 33, 33 passi. Quanto vale (in passi) il raggio del suo prato?

[Karl Zsigmondy]

Questa soluzione non è per niente da quotidiano...

Soluzione
Se pongo le corde in ordine diverso stanno lo stesso sulla circonferenza... mettiamole nell'ordine 12, 19, 33, 12, 19, 33. Considero le prime 3, sono in una semicirconferenza, quindi posso applicare il teorema di Tolomeo al quadrilatero ciclico di lati 12, 19, 33, 2r e diagonali calcolabili con Pitagora in funzione di r. Dopo vari calcoli alla fine si ottiene:
$ r(r-22)(2r^2 + 44r + 171)=0 $ e dato che il diametro è la corda maggiore, l'unica soluzione accettabile è r=22.