Cubo di Rubick

[Anér]

Chi ne è appassionato sa che rompendolo e riassemblando i cubetti si possono ottenere molte configurazioni impossibili con le sole mosse consentite. Sapete trovare degli invarianti sul cubo di Rubick che vietino la possibilità di raggiungere alcune configurazioni?

[<enigma>]

Un'altra interessante questione sopraggiuntami in mente: rompendolo e riassemblandolo a caso qual è la probabilità di riassemblarlo in una configurazione non impossibile?

[sasha™]

1. Sì, è semplice. Assegno 0 ad uno spigolo orientato correttamente, e 1 ad uno montato al contrario. La somma è sempre pari. Poi assegno 0 ad un angolo orientato correttamente, +1 ad uno ruotato in verso orario e -1 in senso antiorario. La somma è sempre nulla modulo 3. Infine, ed è l'ultimo, fissate le posizioni di 10 spigoli e 6 angoli (si può sempre fare ruotando opportunamente il cubo), gli altri quattro pezzi o sono tutti al posto giusto o entrambe le coppie sono invertite.

2. Segue da sopra: 1/2 che gli spigoli siano orientati bene, 1/3 gli angoli, 1/2 per le posizioni. Totale 1/12.


Dimostrazione: esiste sempre un algoritmo che permette di invertire l'orientamento di due spigoli a scelta, uno per due angoli, e uno che scambia fra loro due angoli e due spigoli. Se ne trovano tonnellate su internet, ne basta uno qualsiasi purché lo si sappia usare, è inutile fare esempi. Invece è impossibile cambiare l'orientamento in modo non coerente con quello che ho detto sopra, perché, fissato un riferimento (cioè scelta la posizione dei centri del cubo, diciamo), una qualsiasi rotazione di una faccia manda gli spigoli (0, 0, 0, 0) di quella faccia in (0, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 1) o (1, 1, 1, 1), e gli angoli (0, 0, 0, 0) in (0, 0, 0, 0) o (1, -1, 1, -1). Inoltre esiste un algoritmo che manda (0, 0, 0, 0) in (1, -1, 0, 0). Per quanto riguarda le posizioni, su due piedi non saprei, ma il concetto è lo stesso...
È una questione abbastanza tecnica e difficile da spiegare rigorosamente senza figure, mi rendo conto di non essere molto chiaro ma sono certissimo che sia giusto quello che ho detto, sono un cuber da qualche anno.

EDIT: Ho dimenticato di specificare che posizione e orientamento sono assolutamente indipendenti, ma è abbastanza chiaro che sia vero...

EDIT 2 - La vendetta: Cubo di Rubik! Senza C!

[fph]

Infine, ed è l'ultimo, fissate le posizioni di 10 spigoli e 6 angoli (si può sempre fare ruotando opportunamente il cubo), gli altri quattro pezzi o sono tutti al posto giusto o entrambe le coppie sono invertite.
Per quanto riguarda le posizioni, su due piedi non saprei, ma il concetto è lo stesso...

Esercizio:
1. trovare la parità delle permutazioni dei vertici e degli spigoli indotte da una "mossa".
2. concludere.

Visto che studiarsi la parità delle permutazioni a qualcosa serve?