Un numero dai resti particolari...

Giochini matematici elementari ma non olimpici.
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Drago96
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Un numero dai resti particolari...

Messaggio da Drago96 » 06 lug 2011, 13:01

Un numero $n$ è dispari; inoltre se diviso per 3 dà resto 2, se diviso per 5 dá resto 4, se diviso per 11 dà resto 10. Trovare il minor $n$ con queste caratteristiche.
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Messaggio da Blue Sky_1993 » 06 lug 2011, 17:33

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Ultima modifica di Blue Sky_1993 il 17 feb 2012, 12:14, modificato 2 volte in totale.

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Drago96
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Re: Un numero dai resti particolari...

Messaggio da Drago96 » 06 lug 2011, 18:03

Blue Sky_1993 ha scritto:Dovendo essere dispari e congruo a 4 (mod 5), deduciamo che il numero in questione deve avere 9 come cifra delle unità.
Fra i numeri della forma 11k+10, quelli che terminano con 9 hanno il k della forma 9t+10.
Il primo numero di questa forma che è anche congruo a 2 (mod 3) si ha per k=29.
Il numero n cercato sarà quindi 329.
Giusto?
Immagino tu volessi dire 10t+9... :)
io invece ho semplicemente visto che $n+1\equiv 0 \ (mod \ 2,3,5,11)$ . Il minore è ovviamente il mcm, che è 330, dunque $n=329$ ;)
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Messaggio da Blue Sky_1993 » 06 lug 2011, 20:28

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Ultima modifica di Blue Sky_1993 il 17 feb 2012, 12:14, modificato 1 volta in totale.

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Re: Un numero dai resti particolari...

Messaggio da Veluca » 08 lug 2011, 00:04

Cannoneggiamo giusto per il gusto di farlo :D
Dobbiamo risolvere il sistema di congruenze
$n\equiv-1\pmod 2$
$n\equiv-1\pmod 3$
$n\equiv-1\pmod 5$
$n\equiv-1\pmod{11}$
Per il teorema cinese del resto, questo sistema ha una e una sola soluzione modulo 330. Questa soluzione è chiaramente $-1\pmod{330}$, e il più piccolo n che la verifica è 329

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Re: Un numero dai resti particolari...

Messaggio da Drago96 » 08 lug 2011, 09:39

L'ho fatto anche io, ma solo per vedere se avevo imparato come funziona! :lol:
È abbastanza lungo, però...
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Re: Un numero dai resti particolari...

Messaggio da Veluca » 08 lug 2011, 10:53

Beh, di fatto la dimostrazione che hai scritto tu è la stessa, solo un po' meno formalizzata ;)

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