Faticosa evasione

Giochini matematici elementari ma non olimpici.
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Drago96
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Re: Faticosa evasione

Messaggio da Drago96 » 07 mag 2011, 19:31

Visto che siamo in tema di sommatorie semplici e Capitan Disparrow, ecco un altro problema:

Purtroppo l’ammutinamento è riuscito, Jack Disparrow è stato abbandonato su un’isoletta deserta e la Perla Vera è caduta nelle mani di Bourbakossa, che fa issare le sue insegne: la sua bandiera è un grosso triangolo nero su cui sono rappresentati tante volte tre simboli pirateschi. Sulla prima riga è rappresentata una scimmia. Sulla seconda riga una scimmia ed un forziere. Sulla terza riga una scimmia, un forziere ed una mela. Sulla quarta riga ancora una scimmia, un forziere, una mela ed un’altra scimmia, e così via: sull’n-esima riga ci sono n simboli ottenuti ripetendo nell’ordine scimmia, forziere e mela. Il triangolo conta in tutto 10000 righe: qual è la differenza tra il numero di scimmie ed il numero di mele?
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Re: Faticosa evasione

Messaggio da Hawk » 10 mag 2011, 15:51

Ora che ho un po' di tempo libero posto la mia soluzione.

$ \left(\displaystyle\sum_{n=1}^{3333}3n+3334\right)-\left(\displaystyle\sum_{n=1}^{3332}3n+2\cdot3333\right)=6667 $

Volendo c'era anche un modo più semplice, dopo pochi casi si nota che la differenza aumenta sempre di due ogni tre righe, basta moltiplicarla per 3333 ed aggiungere 1.
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Re: Faticosa evasione

Messaggio da Hawk » 11 mag 2011, 13:24

Eccomi con un nuovo esercizio:

$ \displaystyle\sum_{n=1}^{2010}(-1)^n\displaystyle\frac{n^2+n+1}{n!} $
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Re: Faticosa evasione

Messaggio da Drago96 » 11 mag 2011, 14:54

Ho l'impressione che non venga intero... :?
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Re: Faticosa evasione

Messaggio da Hawk » 11 mag 2011, 16:58

Il risultato va espresso in fattoriale.
Così diceva il testo, quindi il risultato dovrebbe essere intero,magari al termine di tutte le operazioni. :roll:
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Re: Faticosa evasione

Messaggio da Drago96 » 11 mag 2011, 17:15

Io sono arrivato a questo:
$ \displaystyle{\sum_{n=1}^{2010}(-1)^n\frac{n^2+n+1}{n!} = \sum_{n=1}^{505}\frac{(2n)^2+2n+1}{(2n)!} - \sum_{n=0}^{504}\frac{(2n+1)^2+2n+1+1}{(2n+1)!}= \sum_{n=1}^{505}\frac{4n^2+2n+1}{(2n)!} - \sum_{n=0}^{504}\frac{4n^2+6n+3}{(2n+1)!}} $

Come posso continuare? O è un vicolo cieco? :?
Ultima modifica di Drago96 il 11 mag 2011, 17:39, modificato 1 volta in totale.
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Re: Faticosa evasione

Messaggio da Hawk » 11 mag 2011, 17:34

Nel sottraendo credo che n debba essere uguale a zero.
Ci sto provando a risolvere per vedere che succede.
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Re: Faticosa evasione

Messaggio da Drago96 » 11 mag 2011, 17:41

Hawk ha scritto:Nel sottraendo credo che n debba essere uguale a zero.
Già... :cry:
Comunque da lì non vedo vie d'uscita...
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Re: Faticosa evasione

Messaggio da Hawk » 11 mag 2011, 21:12

Quello che sono riuscito a fare è scomporre i due membri sino ad ottenere (se ho fatto bene):

$ \left(4\cdot\displaystyle\sum_{n=1}^{505} \displaystyle\frac{n^2}{(2n)!}+2\cdot \displaystyle\sum_{n=1}^{505}+\displaystyle\frac{n}{(2n)!}+\displaystyle\sum_{n=1}^{505} \displaystyle\frac{1}{(2n)!}\right) $

A cui bisogna togliere:

$ \left(4\cdot\displaystyle\sum_{n=0}^{504} \displaystyle\frac{n^2}{(2n+1)!}+6\cdot\displaystyle\sum_{n=0}^{504} \displaystyle\frac{n}{(2n+1)!}+3\cdot\displaystyle\sum_{n=0}^{504} \displaystyle\frac{1}{(2n+1)!}\right) $

Adesso occorrerebbe utilizzare le formule chiuse ma non ho idea di quale siano.
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Re: Faticosa evasione

Messaggio da Drago96 » 11 mag 2011, 21:34

EDIT: detta una grande cavolata! :roll:
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Re: Faticosa evasione

Messaggio da amatrix92 » 11 mag 2011, 22:14

Ti consiglio di aprire sempre un nuovo post per un nuovo problema, sia per un fatto di ordine, sia perchè ci saranno più utenti che potranno rispondere ai quali magari il post di partenza non interessava :)
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.

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Re: Faticosa evasione

Messaggio da Hawk » 11 mag 2011, 22:25

D'accordo :D !
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