Radicali

[Mike]

Semplificate quest'espressione:
$ \sqrt[3]{1 + \frac{2}{3}\sqrt{\frac{7}{3}}} + \sqrt[3]{1 - \frac{2}{3}\sqrt{\frac{7}{3}}} $

[doiug.8]

$ 1 $?

[Mike]

Sì

[amatrix92]

puoi scrivere i passaggi?

[Giuseppe R]

Metodo standard (penso in questi casi)
Si pone quell'espressione uguale a x.
Allora è ovvio che:
$ \sqrt[3]{1 + \frac{2}{3}\sqrt{\frac{7}{3}}} + \sqrt[3]{1 - \frac{2}{3}\sqrt{\frac{7}{3}}}-x = 0 $
Rifacendomi all'identità $ (a+b+c)(a^2 + b^2 +c^2 - ab - bc - ca) = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc $, ho che se a+b+c=0 allora $ a^3 + b^3 + c^3 = 3abc $. Ponendo in questo caso a= prima radice, b= seconda radice, c = -x ho, sostituendo e svolgendo i conti, che:
$ 2 -x^3 = x $ ovvero $ x^3 + x - 2 = 0 $ ; $ (x-1)[(x+\frac{1}{2})^2 + \frac{7}{4}] = 0 $ che mi da x=1.

[doiug.8]

Comunque potrebbe essere interessante dimostrare che $ 1 $ e $ 2 $ sono gli unici interi che possono essere scritti nella forma $ \sqrt[3]{1+A}+\sqrt[3]{1-A} $

Qui passaggi fondamentali della dimostrazione:

Testo nascosto:

Se voglio che $ \sqrt[3]{1+A}+\sqrt[3]{1-A} $ assuma come valore $ k $ allora $ A=\sqrt{\frac{-k^9+6k^6+15k^3+8}{27k^3}} $. Pertanto $ \frac{-k^9+6k^6+15k^3+8}{27k^3} \ge0 $ che ha come soluzioni intere soltanto $ 1 $ e $ 2 $.

[paga92aren]

$ x^3 + x - 2 = 0 $

Sono un genio (ironico), arrivato a questo risultato mi sono fermato senza avere più idee...

Dimostro che è possibile solo per 1 e 2:
Rifacendomi alla dimostrazione di Giuseppe ottengo che $2-x^3=-3\sqrt{1-A^2}x$ da cui chiamando $k$ il coefficiente del termine in $x$ e notando che $k$ varia nell'intervallo $(-3,+\infty )$ riscrivo l'equazione esplicitando $k=\frac{2-x^3}{x}\geq -3$ risolvo la disequazione $\frac{x^3-3x+2}{x}=\frac{(x-2)(x+1)^2}{x}\leq 0$ che ha come uniche soluzioni intere 1 e 2.