Probabilità cinofile

[io.gina93]

Forse avrei dovuto mettere il passaggio intermedio per il primo percorso...
Comunque quella frazione "solitaria" è il risultato di quello che hai scritto te (che avevo trovato anche io)...

$ \displaystyle{\dfrac{\dfrac{36\cdot 46}{100^2}}{\dfrac{36\cdot 46}{100^2}+\dfrac{64\cdot 54}{100^2}}} $

Scusa, non c'è anche la possibilità che sbagli uno solo dei due???
Forse mi sta sfuggendo qualcosa... Ora devo andare; stasera lo riguardo perbene...

sì, sarebbe stato meglio se tu avessi messo i passaggi intermedi perchè non mi ci ritrovavo

Scusa, non c'è anche la possibilità che sbagli uno solo dei due???

anch'io ci ho pensato ma il testo dice che i cani scelgono un solo percorso diverso... e perciò necessariamente sbagliano tutti e due o hanno ragione tutti e due..

[Drago96]

Scusa, non c'è anche la possibilità che sbagli uno solo dei due???

anch'io ci ho pensato ma il testo dice che i cani scelgono un solo percorso diverso... e perciò necessariamente sbagliano tutti e due o hanno ragione tutti e due..

E' vero...

Allora dovrebbe essere (sperando che il mio programmino non abbia sbagliato i conti...):
1° caso, primo percorso: $ \displaystyle{{{({36 \over 100})}^3 \over {({36 \over 100})}^3 + {({64 \over 100})}^3} = {272 \over 4825}} $

1° caso, secondo percorso: $ \displaystyle{\dfrac{\dfrac{36\cdot 46}{100^2}}{\dfrac{36\cdot 46}{100^2}+\dfrac{64\cdot 54}{100^2}} = {23 \over 71}} $

2° caso, primo percorso: $ \displaystyle{{{46 \over 100} \cdot {({36 \over 100})}^2 \over {46 \over 100} \cdot {({36 \over 100})}^2 + {54 \over 100} \cdot {({64 \over 100})}^2 } = {69 \over 325}} $

2° caso, secondo percorso: $ \displaystyle{{{({36 \over 100})}^2 \over {({36 \over 100})}^2 + {({64 \over 100})}^2} = {81 \over 337}} $

Ora sommandoli si ottiene (sempre sperando che non ci siano bug...)

probabilità che il primo percorso sia errato: $ \displaystyle{{22794 \over 62725} = 0,3633} $ ovvero 36,3%

probabilità che il secondo persorso sia errato: $ \displaystyle{{13502 \over 23927} = 0,5642} $ ovvero 56,4%

[doiug.8]

Proviamo a rispondere...

Allora, ciò vuol dire che c' è un cane su 5 che non ha finito l'addestramento; quindi quei $ {3 \over 5} $ possono essere: tutti addestrati, oppure $ {1 \over 5} $ non addestrato e $ {2 \over 5} $ addestrati; l'altro percorso, nel primo caso, è stato scelto da 1 cane addestrato su 5 e 1 cane non addestrato, mentre nel secondo caso ci sono $ {2 \over 5} $ cani addestrati

Nel primo caso seguo lo stesso ragionamento del primo problema, perciò la probabilità che sia errato è: $ {729 \over 4825} = 0,151 $
La probabilità che il secondo percorso sia errato è: $ {{36 \over 100} * {46 \over 100} \over {64 \over 100} * {54 \over 100} + {36 \over 100}*{54 \over 100} + {64 \over 100}*{46 \over 100} + {36 \over 100}*{46 \over 100}} $, che dovrebbe essere $ {207 \over 1094} = 0,189 $

Nel secondo caso la probabilità che il primo percorso sia errato è: $ {{46 \over 100} * {({36 \over 100})}^2 \over {46 \over 100} * {({36 \over 100})}^2 + {46 \over 100}*{36 \over 100}*{64 \over 100}*2 + {46 \over 100}*{({64 \over 100})}^2 + {54 \over 100} * {({64 \over 100})}^2 + {36 \over 100}*{54 \over 100}*{64 \over 100}*2 } $, ovvero $ {1863 \over 29063} = 0,064 $
Probabilità che il secondo percorso sia sbagliato: $ {{({36 \over 100})}^2 \over {({36 \over 100})}^2 + {({64 \over 100})}^2 + {36 \over 100}*{64 \over 100}*2} = {81 \over 625} = 0,1296 $

E' giusto fin qua???

Sei proprio sicuro dell'affermazione in grassetto? E poi perchè $ n $ non compare minimamente?

[Drago96]

Sei proprio sicuro dell'affermazione in grassetto? E poi perchè $ n $ non compare minimamente?

Ora che mi ci fai pensare, credo di aver calcolato contando che i cani fossero 5...
Comunque direi che i cani sono un multiplo di 5, no? Altrimenti verrebbero dei cani a metà!
Ora mi metto a pensare qualcosa in funzione di $ n $...

[kakkarone93]

Testo nascosto:

Provo a postare la mia soluzione...ditemi se non va
allora... innanzi tutto n deve essere multiplo di 5...altrimenti avremo cani senza "parti" ad indagare . quindi n=5k
ho dunque 5k cani, 4k addestrati e 1k no. ne scegliamo 3k (Evento A) e dobbiamo calcolare la probabilità che indovinino la traccia giusta (Evento E)

A1 : {Prendiamo 3k cani addestrati}
A2 : {Prendiamo 2k cani addestrati ed 1k cane non addestrato}

E : {Indovinano il percorso}

P(A1) = $ \displaystyle \frac{4k}{5k} * \frac{4k-1}{5k-1} * \frac{4k-2}{5k-2} = \frac{4(4k-1)(4k-2)}{5(5k-1)(5k-2)}\displaystyle $ (1° cane addestrato e 2° cane addestrato e 3° cane addestrato...)

P(A2) = $ \displaystyle 3* \frac{4k}{5k} * \frac{4k-1}{5k-1} * \frac{k}{5k-2} = \frac{4k(4k-1)}{5(5k-1)(5k-2)} $ ( Addestrato, Addestrato, Non addestrato. ovviamente ci sono 3 casi (AAN,ANA, NAA) per questo facciamo per 3)

P(E/A1) = $ \displaystyle \left ( \frac{64}{100} \right) ^3\displaystyle $ ( probabilità che indovinino il percorso nel caso in cui si sia verificato A1)

P(E/A2) = $ \displaystyle \left ( \frac{64}{100} \right) ^2 * \left ( \frac{54}{100} \right)\displaystyle $ ( probabilità che indovinino il percorso nel caso in cui si sia verificato A2)

Da cui, essendo $ \displaystyle P(E)= P(A1)*P(E/A1) + P(A2)*P(E/A2)\displaystyle $ ne segue che

P(E)= $ \displaystyle \frac{4(4k-1)(4k-2)}{5(5k-1)(5k-2)} * \left ( \frac{64}{100} \right) ^3 + \frac{4k(4k-1)}{5(5k-1)(5k-2)} * \left ( \frac{64}{100} \right) ^2 * \left ( \frac{54}{100} \right) $

questa dovrebbe essere la probabilità che il percorso preso dai cani sia giusto... uhm... dove ho sbagliato?

[doiug.8]

Allora prendiamo $k=10$, seguendo il tuo ragionamento abbiamo solo due possibilità: seguono il tragitto $30$ cani addestrati, oppure $20$ cani addestrati e $10$ inesperti. Ma perchè no $29$ addestrati e $1$ inesperto?

[kakkarone93]

Allora prendiamo $k=10$, seguendo il tuo ragionamento abbiamo solo due possibilità: seguono il tragitto $30$ cani addestrati, oppure $20$ cani addestrati e $10$ inesperti. Ma perchè no $29$ addestrati e $1$ inesperto?

uhm..... effettivamente.... ci devo pensare...
ma teoricamente il ragionamento è giusto?

[doiug.8]

uhm..... effettivamente.... ci devo pensare...
ma teoricamente il ragionamento è giusto?

Direi di no....ti metto la mia soluzione nascosta.....

Testo nascosto:

Analizzo la probabilità che il primo tragitto sia sbagliato (quella del secondo si ricava facilmente da qui).
$k=\frac{n}{5}$
$\mbox{addestrati}=4k$
$\mbox{inesperti}=k$

$A_i=\left \{seguono\ il\ tragitto\ (3k-i+1)\ addestrati\ e\ (i-1)\ inesperti \right \}, 1\le i\le k+1$
$B=\left \{i\ cani\ sbagliano \right \}$

$P(A_i)=\frac{\binom{4k}{3k-i+1} \binom{k}{i-k}}{\binom{5k}{3k}}$
$P(B\mid A_i)=\frac{\left( \frac{36}{100} \right)^{3k-i+1} \left( \frac{46}{100} \right)^{i-1}}{\left( \frac{64}{100} \right)^{3k-i+1} \left( \frac{54}{100} \right)^{i-1}+\left( \frac{36}{100} \right)^{3k-i+1} \left( \frac{46}{100} \right)^{i-1}}$

Pertanto la nostra probabilità è data da:
$$\sum_{ 1\le i\le k+1} P(A_i\cap B)=\sum_{ 1\le i\le k+1}P(A_i)\cdot P(B\mid A_i)=\sum_{ 1\le i\le k+1}\frac{\binom{4k}{3k-i+1} \binom{k}{i-k} \left( \frac{9}{25} \right)^{3k-i+1} \left( \frac{23}{50} \right)^{i-1}}{\binom{5k}{3k}\left( \left( \frac{16}{25} \right)^{3k-i+1} \left( \frac{27}{50} \right)^{i-1}+\left( \frac{9}{25} \right)^{3k-i+1} \left( \frac{23}{50} \right)^{i-1}\right)}$$

[kakkarone93]

uhm..... effettivamente.... ci devo pensare...
ma teoricamente il ragionamento è giusto?

Direi di no....ti metto la mia soluzione nascosta.....

Testo nascosto:

Analizzo la probabilità che il primo tragitto sia sbagliato (quella del secondo si ricava facilmente da qui).
$k=\frac{n}{5}$
$\mbox{addestrati}=4k$
$\mbox{inesperti}=k$

$A_i=\left \{seguono\ il\ tragitto\ (3k-i+1)\ addestrati\ e\ (i-1)\ inesperti \right \}, 1\le i\le k+1$
$B=\left \{i\ cani\ sbagliano \right \}$

$P(A_i)=\frac{\binom{4k}{3k-i+1} \binom{k}{i-k}}{\binom{5k}{3k}}$
$P(B\mid A_i)=\frac{\left( \frac{36}{100} \right)^{3k-i+1} \left( \frac{46}{100} \right)^{i-1}}{\left( \frac{64}{100} \right)^{3k-i+1} \left( \frac{54}{100} \right)^{i-1}+\left( \frac{36}{100} \right)^{3k-i+1} \left( \frac{46}{100} \right)^{i-1}}$

Pertanto la nostra probabilità è data da:
$$\sum_{ 1\le i\le k+1} P(A_i\cap B)=\sum_{ 1\le i\le k+1}P(A_i)\cdot P(B\mid A_i)=\sum_{ 1\le i\le k+1}\frac{\binom{4k}{3k-i+1} \binom{k}{i-k} \left( \frac{9}{25} \right)^{3k-i+1} \left( \frac{23}{50} \right)^{i-1}}{\binom{5k}{3k}\left( \left( \frac{16}{25} \right)^{3k-i+1} \left( \frac{27}{50} \right)^{i-1}+\left( \frac{9}{25} \right)^{3k-i+1} \left( \frac{23}{50} \right)^{i-1}\right)}$$

ehm, già ho scritto una cavolata
grazie della correzione