|sin x| + |cos x| >= 1

Giochini matematici elementari ma non olimpici.
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max tre
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|sin x| + |cos x| >= 1

Messaggio da max tre » 29 giu 2010, 18:21

Non so dove postarlo, lo metto qui visto che è l'unico esercizio diverso dai soliti esercizietti contosi che mi
è stato dato in una verifica in 4 anni (e, visto che c'è stato un solo risolutore, mi sa che sarà anche l'ultimo):
Spiegare perché $ |\sin x|+|\cos x|\geqslant 1 $
(penso ci sia più di un modo per farla, vediamo cosa salta fuori)
(e perdonate se non è prettamente olimpico; anzi, forse neanche un po'...)

Zorro_93
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Re: |sin x| + |cos x| >= 1

Messaggio da Zorro_93 » 29 giu 2010, 18:32

max tre ha scritto:Non so dove postarlo, lo metto qui visto che è l'unico esercizio diverso dai soliti esercizietti contosi che mi
è stato dato in una verifica in 4 anni (e, visto che c'è stato un solo risolutore, mi sa che sarà anche l'ultimo):
Spiegare perché $ |\sin x|+|\cos x|\geqslant 1 $
(penso ci sia più di un modo per farla, vediamo cosa salta fuori)
(e perdonate se non è prettamente olimpico; anzi, forse neanche un po'...)
4
Vale $ $\sin x\le1$ $, quindi $ $\sin^2x\le\sin x$ $, idem per coseno. $ |\sin x| + | \cos x| \ge \sin x+\cos x \ge \sin^2 x+\cos^2 x=1$ $

giusto?

taifu
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Messaggio da taifu » 29 giu 2010, 18:51

|cos(x)| e |sin(x)| sono le lunghezze dei cateti di un triangolo rettangolo con ipotenusa lunga 1, la tesi segue dalla disuguaglianza triangolare.

max tre
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Re: |sin x| + |cos x| >= 1

Messaggio da max tre » 29 giu 2010, 18:56

Zorro_93 ha scritto: [...] quindi $ $\sin^2x\le\sin x$ $ [...] giusto?
Se anziché sin scrivi |sin| sì
Comunque, io l'avevo fatto come taifu

Zorro_93
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Re: |sin x| + |cos x| >= 1

Messaggio da Zorro_93 » 29 giu 2010, 21:26

max tre ha scritto: Comunque, io l'avevo fatto come taifu
Molto più elegante in effetti

Tibor Gallai
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Re: |sin x| + |cos x| >= 1

Messaggio da Tibor Gallai » 29 giu 2010, 22:57

Zorro_93 ha scritto:$ $\sin^2x\le\sin x$ $
santa madonna
[quote="Pigkappa"]Penso che faresti un favore al mondo se aprissi un bel topic di bestemmie da qualche parte in modo che ti bannino subito.[/quote]

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Gatto
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Messaggio da Gatto » 30 giu 2010, 19:33

Il seno non è esattamente una funzione positiva...
"Fu chiaro sin dall'inizio che ogni qual volta c'era un lavoro da fare, il gatto si rendeva irreperibile." (George Orwell - La fattoria degli animali)

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jordan
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Re: |sin x| + |cos x| >= 1

Messaggio da jordan » 06 feb 2011, 02:52

Per la serie "soluzione più brutta":
wlog $ x\in \mathbb{R}\cap [0,\frac{\pi}{2}] $ allora $ \sin(x)+\cos(x)=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\ge 1 $. []
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Re: |sin x| + |cos x| >= 1

Messaggio da SkZ » 06 feb 2011, 20:08

che e' falso. intendevi dire questo, giusto? :?
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]

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Re: |sin x| + |cos x| >= 1

Messaggio da paga92aren » 07 feb 2011, 16:53

è più o meno quello che hanno fatto gli altri:
$(|\sin x|+ |\cos x|)^2\geq 1^2$ da cui $\sin^2x+\cos^2x+2|\cos x||\sin x|=1+2|\sin x||\cos x|\geq 1$

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