OliForum Matematico

premesso che mi sono inventato il problema adesso ( anche se ispirato da uno stage a bardonecchia l'anno scorso), e quindi non so se esista già, o se sia semplice e difficile, o sopratutto se abbia soluzione:), vi presento il testo:
si può costruire una sfera come intersezione tra più cilindri? se sì, quant'è il minimo di cilindri necessari ( e come devono essere disposti)?

p.s. l'ho messo abbastanza a caso in matematica ricreativa perchè appunto io non credo di saperlo risolvere, ma se voi mod volete spostarlo spostatelo pure.

La soluzione più semplice che mi viene in mente (una riga) non è elementare. Ma vediamo se ne vengono fuori di elementari. Probabilmente non è difficile traslare quella che ho in mente in linguaggio semplice, ma diventa piuttosto fastidioso da scrivere.

Assumo che per "cilindri" tu intenda cilindri infiniti, ovvero senza basi. In caso contrario il discorso non cambia quasi per nulla, comunque. Col mio metodo determini esattamente la cardinalità minima di un insieme di cilindri la cui intersezione è una sfera non degenere, ma per non sconfinare nel non elementare dimostrerò solo che un numero FINITO di cilindri non è sufficiente.

Supponi che l'intersezione di un numero finito di cilindri sia una sfera non degenere, e considera un punto sulla superficie di questa sfera. Allora il punto deve stare sulla superficie di almeno uno dei cilindri (perché?). Considera allora il contributo che ogni cilindro dà alla superficie sferica: questo è precisamente l'intersezione tra la superficie della sfera e la superficie del cilindro. Inoltre, poiché la sfera deve stare tutta dentro il cilindro, l'intersezione delle due superfici può essere solo un punto o una circonferenza massimale. Quindi l'intera superficie della sfera dev'essere l'unione di un numero finito di punti e circonferenze massimali, e questo non è possibile (perché?).

Penso che invece NonnoBassotto volesse usare il concetto di curvatura di una superficie, che è l'altra via percorribile che vedo...

Tibor Gallai ha scritto:Assumo che per "cilindri" tu intenda cilindri infiniti, ovvero senza basi. In caso contrario il discorso non cambia quasi per nulla, comunque. Col mio metodo determini esattamente la cardinalità minima di un insieme di cilindri la cui intersezione è una sfera non degenere, ma per non sconfinare nel non elementare dimostrerò solo che un numero FINITO di cilindri non è sufficiente.

Supponi che l'intersezione di un numero finito di cilindri sia una sfera non degenere, e considera un punto sulla superficie di questa sfera. Allora il punto deve stare sulla superficie di almeno uno dei cilindri (perché?). Considera allora il contributo che ogni cilindro dà alla superficie sferica: questo è precisamente l'intersezione tra la superficie della sfera e la superficie del cilindro. Inoltre, poiché la sfera deve stare tutta dentro il cilindro, l'intersezione delle due superfici può essere solo un punto o una circonferenza massimale. Quindi l'intera superficie della sfera dev'essere l'unione di un numero finito di punti e circonferenze massimali, e questo non è possibile (perché?).

Penso che invece NonnoBassotto volesse usare il concetto di curvatura di una superficie, che è l'altra via percorribile che vedo...

ho capito la dimostrazione!! incredibile ma vero! comunque adesso che ci penso credo che almeno si possa fare semplpicemente facendo ruotare un cilindro attorno ad un diametro della circonferenza ottenuta secando lo stesso cilindro ortogonalmente. così si farebbe semplicemente la rotazione di una circonferenza massimale che dovrebbe creare una sfera. spero di non essere stato troppo confuso. quindi ad occhio credo che la cardinalità di questo insieme sia quella dell'insieme dei numeri reali perchè coincindente con la cardinalità della circonferenza ( esiste un cilindro per ogni angolo). non ho idea se bastino cardinalità minori però ( e nemmeno se quello che ho detto ha un vago senso. )

oggi sono in vena di quesiti geometrici, ne pongo un altro qua anche se quello sopra non è stato ancora del tutto risolto ( anche di questo non conosco la risposta ):
qual è la sezione non banale tra un cilindro e un piano?
p.s. per il problema sopra intendevo comunque CILINDRI INFINITI come diceva tibor

Problema: quanti spigoli & facce & vertici ha il solido tale che le sue proiezioni sul triedro sono circonferenze (piene) su tutti e tre i piani e questo solido è quello con il massimo volume possibile? Per quanto appena detto non è una sfera...

<enigma> ha scritto:Problema: quanti spigoli & facce & vertici ha il solido tale che le sue proiezioni sul triedro sono circonferenze (piene) su tutti e tre i piani e questo solido è quello con il massimo volume possibile? Per quanto appena detto non è una sfera...

ecco il problema che avevo visto a bardonecchia


@enigma: là a bardonecchia dopo un po' pensavo che non ti ricordassi di me ed è per quello che una o due volte ero incerto se salutarti o meno

Hector, la tua costruzione per generare la sfera funziona, e ok.
Considera questo: cosa succede se invece di prendere tutti i possibili cilindri ruotati (che hanno la cardinalità dei reali) prendi solo quelli ruotati di angoli razionali (che hanno cardinalità dei naturali)? Cosa generano?
Questa era la parte un po' meno elementare della discussione... Per capire meglio questo punto, cerca di rispondere per esteso alle mie mini-domande del post precedente (i due "perché?").

Per la tua seconda domanda, non capisco cosa significa "non banale". Comunque, l'intersezione tra una superficie cilindrica non degenere e un piano può essere il vuoto, una retta, due rette parallele o un ellisse.

Tibor Gallai ha scritto:
Per la tua seconda domanda, non capisco cosa significa "non banale". Comunque, l'intersezione tra una superficie cilindrica non degenere e un piano può essere il vuoto, una retta, due rette parallele o un ellisse.

è che sono stupido io, avevo pensato ad una dimostrazione per cui in realtà quella non è un'ellisse e mi chiedevo che cosa fosse quella curva, ma adesso ho capito dove avevo sbagliato

Hai ragione, "ellisse" è femminile.