Archimede 1997

Giochini matematici elementari ma non olimpici.
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amatrix92
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Archimede 1997

Messaggio da amatrix92 » 29 apr 2010, 23:23

Nel 22° esercizio che trovate qua:
http://andfog.altervista.org/math/Archi ... iennio.pdf

mi è sembrato di trovare un errore nella soluzione: dice che le possibilità di indovinare 1 numero al lotto ( estrazione con 90 numeri) su 5 estrazioni sia 5/ 90. Ma in realtà non è 1/90 +1/89 + 1/88 + 1/ 87 + 1/ 86 ?
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.

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Anér
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Messaggio da Anér » 30 apr 2010, 01:02

Potrebbe venire in mente di dire che per il primo estratto c'è 1/90 di probabilità che esca un certo n, per il secondo estratto 1/89 perché sono rimasti 89 numeri dopo aver tolto il primo estratto, e così via, e poiché n non può uscire due volte e vogliamo che esca almeno una volta, basta sommare 1/90 + 1/89 + ... .
L'errore sta nel non considerare che per il secondo estratto c'è 1/89 di probabilità solo se n non è già uscito alla prima estrazione, altrimenti, se è già uscito, la probabilità è 0. Dunque dobbiamo correggere i calcoli:
Caso 1) n esce al primo colpo; probabilità 1/90;
Caso 2) n non esce al primo colpo ed esce al secondo; probabilità 89/90 x 1/89=1/90
Caso 3) n non esce né nella prima né nella seconda estrazione, bensì nella terza; probabilità 89/90 x 88/89 x 1/88 =1/90

E così via, poi si sommano i vari casi perché sono indipendenti e vogliamo che se ne verifichi uno.
Sono il cuoco della nazionale!

Tibor Gallai
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Re: Archimede 1997

Messaggio da Tibor Gallai » 30 apr 2010, 01:49

amatrix92 ha scritto:1/90 +1/89 + 1/88 + 1/ 87 + 1/ 86
Devi capire a colpo d'occhio che quella non può essere una probabilità!
Se invece di estrarre 5 numeri ne estraessi 90, avresti probabilità 1 di estrarre il 13, ma estendendo la tua formula avresti una somma ben superiore a 1 (addirittura la serie armonica diverge).

Oltre al metodo accennato da Anér, c'è quello bovino di considerare le $ $5\choose 90 $ possibili cinquine, tra cui esattamente $ $4 \choose 89 $ contengono il 13. Il rapporto tra i due numeri è 5/90, come volevasi dimostrare. E' strano che la soluzione ufficiale non giustifichi quel 5/90, non mi pare sia immediatamente ovvio, soprattutto in un Archimede.
Anér ha scritto:si sommano i vari casi perché sono indipendenti
Non sono indipendenti, ma sono disgiunti.
[quote="Pigkappa"]Penso che faresti un favore al mondo se aprissi un bel topic di bestemmie da qualche parte in modo che ti bannino subito.[/quote]

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SkZ
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Messaggio da SkZ » 30 apr 2010, 04:41

in verita' le cinquine sono $ $\binom {90}{ 5} $ di cui $ $\binom {89} {4} $ contengono il 13

se be ricordo $ $\binom nk $ se n<k vale 0

:P :P
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Anér
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Re: Archimede 1997

Messaggio da Anér » 30 apr 2010, 14:59

Tibor Gallai ha scritto:
Anér ha scritto:si sommano i vari casi perché sono indipendenti
Non sono indipendenti, ma sono disgiunti.
Pardon, ho sbagliato aggettivo!
Sono il cuoco della nazionale!

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Re: Archimede 1997

Messaggio da io.gina93 » 03 mag 2010, 16:43

amatrix92 ha scritto:Nel 22° esercizio che trovate qua:
http://andfog.altervista.org/math/Archi ... iennio.pdf

mi è sembrato di trovare un errore nella soluzione: dice che le possibilità di indovinare 1 numero al lotto ( estrazione con 90 numeri) su 5 estrazioni sia 5/ 90. Ma in realtà non è 1/90 +1/89 + 1/88 + 1/ 87 + 1/ 86 ?
no è giusta così!! ;)
perchè a te non dovrebbe interessare se il tuo numero esce nella prima/seconda/terza/quarta/quinta estrazione, l'importante è che esca..
in questo problema possiamo pensare di prendere 5 numeri contemporaneamente e vedere se abbiamo preso il nostro numero o no..

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