x^{4x}=1

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gibo92
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x^{4x}=1

Messaggio da gibo92 » 16 apr 2010, 20:26

Determinare le soluzioni dell'equazione $ x^{4x}=1 $ per x qualunque (anke complesso se capita)

amatrix92
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Messaggio da amatrix92 » 16 apr 2010, 20:38

prima soluzione x=1 :lol:
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.

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gibo92
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Messaggio da gibo92 » 16 apr 2010, 20:54

è l'unica? se lo è va dimostrato

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Messaggio da SkZ » 16 apr 2010, 20:58

e temo unica :?
se x>1 $ $(x^4)^x>1 $
per $ $x=a+ib=r e^{i\alpha} $ abbiamo $ $e^{4a\ln{r}-4b\alpha}e^{i(4b\ln{r}+4a\alpha)} $
con $ ~a=r\cos{\alpha}\quad b=r\sin{\alpha} $, ergo
$ ~4b\ln{r}+4a\alpha=4r(\sin{\alpha}\ln{r}+\alpha \cos{\alpha})=0 $
$ ~4a\ln{r}-4b\alpha=4r(\cos{\alpha}\ln{r}-\alpha\sin{\alpha})=0 $

forse (mica guardato), il "problema" sta nella periodicita' del seno

edit:
$ \ln{r}=\alpha\tan{\alpha}=-\alpha(\tan{\alpha})^{-1} $ se $ ~\alpha\neq k\pi $
impossibile, ergo $ ~\alpha=k\pi $, ergo...
Ultima modifica di SkZ il 16 apr 2010, 21:53, modificato 1 volta in totale.
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Messaggio da gibo92 » 16 apr 2010, 21:10

SkZ ha scritto:e temo unica :?
se x>1 $ $(x^4)^x>1 $
per $ $x=a+ib=r e^{i\alpha} $ abbiamo $ $e^{4a\ln{r}-4b\alpha}e^{i(4b\ln{r}+4a\alpha)} $
con $ ~a=r\cos{\alpha}\quad b=r\sin{\alpha} $, ergo
$ ~4b\ln{r}+4a\alpha=4r(\sin{\alpha}\ln{r}+\alpha \cos{\alpha})=0 $
$ ~4a\ln{r}-4b\alpha=4r(\cos{\alpha}\ln{r}-\alpha\sin{\alpha})=0 $

forse (mica guardato), il "problema" sta nella periodicita' del seno

edit:
$ \ln{r}=\alpha\tan{\alpha}=-\alpha(\tan{\alpha})^{-1} $ se $ ~\alpha\neqk\pi $
impossibile, ergo $ ~\alpha=k\pi $, ergo...
uff non comprendo la tua soluzione... cosa significa quell'"ln" ke metti ogni tanto?

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Messaggio da Sonner » 16 apr 2010, 21:15

Anche -1 soddisfa :lol: , poi per curiosità l'ho buttata dentro wolfram alpha e mi dà parecchie soluzioni (anche se non riesco quasi a capirle :S ), è possibile?

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Messaggio da gibo92 » 16 apr 2010, 21:21

Non basta dire:

$ x^{4x}=k $
x>1 allora k>1
x=1 ok
0<x<1 allora k<1
x=0 no
-1<x<0>1
x=-1 ok
x<-1 allora k<1

se qualcuno riesce a rispondermi mi farebbe un grande piacere, è un compito ke ho x domani... :)

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Messaggio da amatrix92 » 16 apr 2010, 21:54

gibo92 ha scritto:Non basta dire:

$ x^{4x}=k $
x>1 allora k>1
x=1 ok
0<x<1 allora k<1
x=0 no
-1<x<0>1
x=-1 ok
x<-1 allora k<1

se qualcuno riesce a rispondermi mi farebbe un grande piacere, è un compito ke ho x domani... :)
con quel ragionamento hai dimostrato che non ci sono più soluzioni reali, le altre (infinite) sono complesse.
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.

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Messaggio da gibo92 » 16 apr 2010, 21:58

proprio cm pensavo... uff...

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Messaggio da SkZ » 16 apr 2010, 22:01

gibo92 ha scritto:
SkZ ha scritto:e temo unica :?
se x>1 $ $(x^4)^x>1 $
per $ $x=a+ib=r e^{i\alpha} $ abbiamo $ $e^{4a\ln{r}-4b\alpha}e^{i(4b\ln{r}+4a\alpha)} $
con $ ~a=r\cos{\alpha}\quad b=r\sin{\alpha} $, ergo
$ ~4b\ln{r}+4a\alpha=4r(\sin{\alpha}\ln{r}+\alpha \cos{\alpha})=0 $
$ ~4a\ln{r}-4b\alpha=4r(\cos{\alpha}\ln{r}-\alpha\sin{\alpha})=0 $

forse (mica guardato), il "problema" sta nella periodicita' del seno

edit:
$ \ln{r}=\alpha\tan{\alpha}=-\alpha(\tan{\alpha})^{-1} $ se $ ~\alpha\neq k\pi $
impossibile, ergo $ ~\alpha=k\pi $, ergo...
uff non comprendo la tua soluzione... cosa significa quell'"ln" ke metti ogni tanto?
scusa, ma stai scherzando o sei serio? :shock:
logaritmo naturale.
in vari ambiti di programmazione si usa log, ma in matematica log e' il logaritmo in base 10 e ln quello naturale. $ ~\LaTeX $ e' appoggiato dall'AMS (America Mathematics Society) ergo non penso usi nomi astrusi ;)
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Messaggio da SkZ » 16 apr 2010, 22:11

ecco dove sta l'errore
posto $ ~k\in\mathbb{Z} $

se x>1 $ $(x^4)^x>1 $
per $ $x=a+ib=r e^{i\alpha} $ abbiamo $ $e^{4a\ln{r}-4b\alpha}e^{i(4b\ln{r}+4a\alpha)} $
con $ ~a=r\cos{\alpha}\quad b=r\sin{\alpha} $, ergo
$ ~4b\ln{r}+4a\alpha=4r(\sin{\alpha}\ln{r}+\alpha \cos{\alpha})=2k\pi $
$ ~4a\ln{r}-4b\alpha=4r(\cos{\alpha}\ln{r}-\alpha\sin{\alpha})=0 $

$ $\ln{r}=\alpha\tan{\alpha} $ se x non puramente immaginario (e si vede facilmente che non puo' esserlo)
quindi $ $e^{\alpha\tan{\alpha}}\alpha(\sin{\alpha}\tan{\alpha}+\cos{\alpha})=k\frac{\pi}{2} $

se $ ~\alpha=l\pi,\;l\in\mathbb{Z} $, allora $ $k=(-1)^l{2l} $, quindi sempre soluzione
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Messaggio da fph » 17 apr 2010, 10:51

SkZ ha scritto:in matematica log e' il logaritmo in base 10 e ln quello naturale.
Ognuno ha la sua notazione, ma negli ambienti che frequento io $ \log $ è il logaritmo naturale, $ \log_2 $ è il logaritmo in base 2, che si usa molto raramente, e il logaritmo in base 10 è una cosa buffa che nessuno usa. :D
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Messaggio da SkZ » 17 apr 2010, 16:57

in effetti il logaritmo e' nato "naturale" (sembra da quello che ho letto).
speravo che fosse almeno un po' piu' standardizzato. Ma considerato il prodotto interno ed esterno.... :roll:
ora che ci penso, penso di aver gia' fatto questa "gaffe" :lol:

onestamente per il logaritmo decimale, se si usa poco, non sarebbe meglio $ ~\log_{10} $? :?
ma uso solo ingegneristico?
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