un problema di metodo...
un problema di metodo...
Ecco un pessimo (ma non banale) problema tratto dalla finale 2004 dei Giochi Matematici. La mia domanda è: come risolverlo senza fare una marea di tentativi? C'è un metodo per trovare tutte le soluzioni?
- Allegati
-
- Inserire i numeri da 1 a 8 nei cerchietti in modo che la somma di tre numeri allineati sia sempre la stessa. Indicare, nel risultato, il prodotto dei quattro numeri ai vertici del quadrato
- Immagine2.png (5.6 KiB) Visto 5390 volte
-
Nonno Bassotto
- Site Admin
- Messaggi: 970
- Iscritto il: 14 mag 2006, 17:51
- Località: Paris
- Contatta:
Sei sicuro che il testo sia giusto? A me vengono almeno due soluzioni diverse (dopo di che ho smesso di cercare).
Nel primo caso il prodotto è 1120, nel secondo 40.
Per trovare queste soluzioni ho fatto alcune riduzioni per limitare i casi, dopo di che sono andato a mano. Temevo di non essere riuscito a fare un'osservazione furba che mi escludesse altre possibilità, perché comunque mi rimanevano un po' di casi da fare, ma quando ho visto due soluzioni diverse...
Codice: Seleziona tutto
5
138
462
7
Codice: Seleziona tutto
4
375
186
2
Per trovare queste soluzioni ho fatto alcune riduzioni per limitare i casi, dopo di che sono andato a mano. Temevo di non essere riuscito a fare un'osservazione furba che mi escludesse altre possibilità, perché comunque mi rimanevano un po' di casi da fare, ma quando ho visto due soluzioni diverse...
The best argument against democracy is a five-minute conversation with the average voter. - Winston Churchill
Guarda tu stesso. 
http://matematica.unibocconi.it/giochif ... finale.htm Tra l'altro era solo l'ultimo della categoria C2! Anch'io ci ho riflettuto un bel po', ma senza giungere a conclusioni interessanti.[/url]
http://matematica.unibocconi.it/giochif ... finale.htm Tra l'altro era solo l'ultimo della categoria C2! Anch'io ci ho riflettuto un bel po', ma senza giungere a conclusioni interessanti.[/url]-
Nonno Bassotto
- Site Admin
- Messaggi: 970
- Iscritto il: 14 mag 2006, 17:51
- Località: Paris
- Contatta:
-
Nonno Bassotto
- Site Admin
- Messaggi: 970
- Iscritto il: 14 mag 2006, 17:51
- Località: Paris
- Contatta:
La stranezza è che c'è anche la versione più semplice http://matematica.unibocconi.it/giochis ... li2004.pdf
-
Nonno Bassotto
- Site Admin
- Messaggi: 970
- Iscritto il: 14 mag 2006, 17:51
- Località: Paris
- Contatta:
Ricordo che spesso nel foglio risposte c'e' scritto quali problemi hanno piu' soluzioni. A volte e' richiesto appunto darne 2.
Che i francesi dovrebbero scrivere tutto nel testo e' ovvio, ma sono francesi
Che i francesi dovrebbero scrivere tutto nel testo e' ovvio, ma sono francesi
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]
Software is like sex: it's better when it's free (Linus T.)
membro: Club Nostalgici
Non essere egoista, dona anche tu! http://fpv.hacknight.org/a8.php
Software is like sex: it's better when it's free (Linus T.)
membro: Club Nostalgici
Non essere egoista, dona anche tu! http://fpv.hacknight.org/a8.php
-
Nonno Bassotto
- Site Admin
- Messaggi: 970
- Iscritto il: 14 mag 2006, 17:51
- Località: Paris
- Contatta:
Ok, ha già più senso. Non lo sapevo, perché non ho mai fatto i giochi matematici.
Tornando alla domanda originale, cioè risolvere il problema con pochi conti, il modo che ho usato io è il seguente.
1) Chiama s la somma degli elementi allineati, k la somma degli elementi sul quadrato interno. Che relazione c'è fra s e k?
2) k soddisfa due disuguaglianze ovvie: quali? Deducine che s può assumere solo 4 valori.
3) Adesso iniziamo ad andare per casi. Fissa un valore di s. Di conseguenza è fissato anche k e la somma dei valori in due vertici opposti. Questo limita la scelta di quali sono i 4 elementi che possono andare nel quadrato a pochi casi, elencali.
4) Prima di sistemare questi 4 numeri nel quadrato, tieni presente che alcune coppie non possono essere adiacenti. Ad esempio se s=12, 3 e 6 non possono essere adiacenti.
5) Metti i 4 numeri nei modi consentiti dal punto 4), e per ciascuno di essi prova a completare il quadrato (sai s, quindi mettere i 4 numeri restanti è automatico).
Così si trovano tutte le soluzioni in relativamente poco tempo. Non so se si possa migliorare molto, tenuto conto ci sono 6 soluzioni, per cui un po' di casi andranno visti.
Tornando alla domanda originale, cioè risolvere il problema con pochi conti, il modo che ho usato io è il seguente.
1) Chiama s la somma degli elementi allineati, k la somma degli elementi sul quadrato interno. Che relazione c'è fra s e k?
2) k soddisfa due disuguaglianze ovvie: quali? Deducine che s può assumere solo 4 valori.
3) Adesso iniziamo ad andare per casi. Fissa un valore di s. Di conseguenza è fissato anche k e la somma dei valori in due vertici opposti. Questo limita la scelta di quali sono i 4 elementi che possono andare nel quadrato a pochi casi, elencali.
4) Prima di sistemare questi 4 numeri nel quadrato, tieni presente che alcune coppie non possono essere adiacenti. Ad esempio se s=12, 3 e 6 non possono essere adiacenti.
5) Metti i 4 numeri nei modi consentiti dal punto 4), e per ciascuno di essi prova a completare il quadrato (sai s, quindi mettere i 4 numeri restanti è automatico).
Così si trovano tutte le soluzioni in relativamente poco tempo. Non so se si possa migliorare molto, tenuto conto ci sono 6 soluzioni, per cui un po' di casi andranno visti.
The best argument against democracy is a five-minute conversation with the average voter. - Winston Churchill