un problema di metodo...

Giochini matematici elementari ma non olimpici.
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un problema di metodo...

Messaggio da Zephyrus » 18 mar 2010, 15:48

Ecco un pessimo (ma non banale) problema tratto dalla finale 2004 dei Giochi Matematici. La mia domanda è: come risolverlo senza fare una marea di tentativi? C'è un metodo per trovare tutte le soluzioni?
Allegati
Inserire i numeri da 1 a 8 nei cerchietti in modo che la somma di tre numeri allineati sia sempre la stessa. Indicare, nel risultato, il prodotto dei  quattro numeri ai vertici del quadrato
Inserire i numeri da 1 a 8 nei cerchietti in modo che la somma di tre numeri allineati sia sempre la stessa. Indicare, nel risultato, il prodotto dei quattro numeri ai vertici del quadrato
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Messaggio da Nonno Bassotto » 18 mar 2010, 17:31

Sei sicuro che il testo sia giusto? A me vengono almeno due soluzioni diverse (dopo di che ho smesso di cercare).

Codice: Seleziona tutto

 5
 138
462
  7

Codice: Seleziona tutto

 4
 375
186
  2
Nel primo caso il prodotto è 1120, nel secondo 40.

Per trovare queste soluzioni ho fatto alcune riduzioni per limitare i casi, dopo di che sono andato a mano. Temevo di non essere riuscito a fare un'osservazione furba che mi escludesse altre possibilità, perché comunque mi rimanevano un po' di casi da fare, ma quando ho visto due soluzioni diverse... :?
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Messaggio da Zephyrus » 18 mar 2010, 17:46

Guarda tu stesso. :roll: http://matematica.unibocconi.it/giochif ... finale.htm Tra l'altro era solo l'ultimo della categoria C2! Anch'io ci ho riflettuto un bel po', ma senza giungere a conclusioni interessanti.[/url]

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Messaggio da Nonno Bassotto » 18 mar 2010, 18:01

In effetti il problema è scritto così. Ma ci sono almeno due soluzioni diverse, quindi mi sembra che abbiano fatto proprio un bel pasticcio...
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Messaggio da Nonno Bassotto » 18 mar 2010, 18:02

Ah, l'hanno pure scritto: il problema ammette 6 soluzioni... no comment su queste gare...
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Messaggio da Zephyrus » 18 mar 2010, 18:40

La stranezza è che c'è anche la versione più semplice http://matematica.unibocconi.it/giochis ... li2004.pdf

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Messaggio da Nonno Bassotto » 18 mar 2010, 18:49

La stranezza è che propongono in gara un problema la cui soluzione non è unica nonstante il testo sottintenda che lo sia. È un problema veramente fatto coi piedi.
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Messaggio da SkZ » 18 mar 2010, 20:55

Ricordo che spesso nel foglio risposte c'e' scritto quali problemi hanno piu' soluzioni. A volte e' richiesto appunto darne 2.
Che i francesi dovrebbero scrivere tutto nel testo e' ovvio, ma sono francesi :roll:
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Messaggio da Nonno Bassotto » 18 mar 2010, 21:55

Ok, ha già più senso. Non lo sapevo, perché non ho mai fatto i giochi matematici.

Tornando alla domanda originale, cioè risolvere il problema con pochi conti, il modo che ho usato io è il seguente.

1) Chiama s la somma degli elementi allineati, k la somma degli elementi sul quadrato interno. Che relazione c'è fra s e k?
2) k soddisfa due disuguaglianze ovvie: quali? Deducine che s può assumere solo 4 valori.
3) Adesso iniziamo ad andare per casi. Fissa un valore di s. Di conseguenza è fissato anche k e la somma dei valori in due vertici opposti. Questo limita la scelta di quali sono i 4 elementi che possono andare nel quadrato a pochi casi, elencali.
4) Prima di sistemare questi 4 numeri nel quadrato, tieni presente che alcune coppie non possono essere adiacenti. Ad esempio se s=12, 3 e 6 non possono essere adiacenti.
5) Metti i 4 numeri nei modi consentiti dal punto 4), e per ciascuno di essi prova a completare il quadrato (sai s, quindi mettere i 4 numeri restanti è automatico).

Così si trovano tutte le soluzioni in relativamente poco tempo. Non so se si possa migliorare molto, tenuto conto ci sono 6 soluzioni, per cui un po' di casi andranno visti.
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Messaggio da Zephyrus » 18 mar 2010, 22:25

Ok, grazie per l'aiuto, così il problema mi sembra decisamente più fattibile.

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