Siamo nel 2005!

Giochini matematici elementari ma non olimpici.
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LukasEta
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Siamo nel 2005!

Messaggio da LukasEta » 03 feb 2010, 14:31

Scrivete la lista dei primi 2005 numeri interi : 1, 2, 3,….,
2005. Cancellate i primi due e scrivete la loro somma alla
fine della lista: 3,4, …, 2005, 3. Continuate così,
cancellando i primi due rimasti e riportando la loro somma
alla fine della lista: 5, 6, … 2005, 3, 7. Non stancatevi :
continuate allo stesso modo finche vi rimane un solo
numero.
Qual è la somma di tutti i numeri scritti, compresi
quelli iniziali?


Idee?? Sono disperato :D

cellulacameratatumorale
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Messaggio da cellulacameratatumorale » 03 feb 2010, 20:29

Scusa, ho in cervello un po' appannato, ma che vuol dire la somma di tutti i numeri compresi quelli iniziali? Si intende di sommare tutti i numeri della successione fino a che non ci si ritrova con un solo numero??? In tal caso credo che sia così...

Noto che 1+2+3...2004+2005 è uguale a 3+4+5...2005+3 e uguale a 5+6+7...2005+3+7 e così via perchè ogni volta che tolgo due numeri li sostituisco con la loro somma, quindi la somma totale rimane costante... Quindi alla fine di tutte le somme il numero ottenuto dalla sommatoria dei primi 2005 interi (dalla formula della sommatoria n(n+1)/2 ottengo 2005*(2006)/2=2011015)


Mi pare un po' troppo semplice però... Mi sa che ho sbagliato l'interpretazione del testo...

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LukasEta
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Messaggio da LukasEta » 03 feb 2010, 21:17

Il problema è stato proposto alla finale 2005 dei giochi della bocconi,quindi l'interpretazione del testo rimane sempre un grande problema :D

Comunque la soluzione si aggira intorno ai 20 milioni, solo che non c'è spiegazione. Io credo sia da interpretare come " facendo quel tipo di operazione, ottengo una lunga catena di numeri che termina quando rimane un solo numero. Devo calcolare la somma di tutti i numeri che ho scirtto".

ovvero 1+2+3+4+5+6.....+2005+3+7+11....+2008+16......+ULTIMO NUMERO

Spero di essere stato chiaro

cellulacameratatumorale
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Messaggio da cellulacameratatumorale » 03 feb 2010, 21:31

ah! allora può essere, sempre dato il fatto che dopo le sostituzioni la somma di tutti i numeri di un solo "blocco" rimane costante (2005*2006/2=2011015), che la somma di tutti i blocchi sia la sommatoria del numero dei blocchi? mi spiego:

chiamo k il valore di un singolo blocco 2011015 e quindi essendoci 2005 blocchi (credo) dati dalle 2004 sostituzioni (ogni sostituzione togli due numeri e ne aggiunge 1, ergo dopo 2004 sostituzioni hai un solo numero, proprio 2011015) ho che la somma di tutti i blocchi è k*2005, quindi 2011015*2005=4032085075

Sono abbastanza distrutto e l'ho fatto a mente, quindi al 99% è sbagliato...

Risolvetelo che sono curioso comunque!!!

mathias.jag
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Messaggio da mathias.jag » 27 feb 2010, 20:59

Secondo me si fa in questo modo...
Io ho interpretoato il testo in questo modo, facendolo diventare, riassunto:

Scrivi in file prima tutti i numeri da 1 a 2005 e poi, nello stesso foglio scrivi di sotto la stessa serie ( n-upla) cancellando i primi due e scrivendo la loro somma alla
fine della lista: 3,4, …, 2005, 3... Applicare questo procedimento fino a trovarsi ad una serie (n-upla) di solo numero e sommare tutti i numeri scritti sul foglio.
Beh, io farei così...
per arrivare a una serie (n-upla) di un solo numero, devo fare 2004 volte il procedimento illustrato perchè ad ogni "passaggio" diminuisco di 1 la lunghezza del' n-upla. mi ritrovo così un foglio con 2005 n-uple. La somma dei termini di ognuna è $ (2005*2006)/2 $. avendo 2005 somme di questo tipo, si ha che il risultato è: $ 2005*(2005*2006)/2 $.

Giusto ?

feeeeee
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Messaggio da feeeeee » 28 feb 2010, 12:38

Dopo una serata di inutili tentativi stamattina l'illuminazione! :D
Provo a spiegarlo...

Ho fatto un ragionamento a ritroso partendo dall'ultimo numero, il 4009°: infatti, dopo 2004 passaggi, avrò scritto $ 2005+2004=4009 $ numeri e ne avrò cancellati $ 2004*2=4008 $. Il numero rimasto è uguale alla somma dei numeri da 1 a 2005, perchè dopo ogni passaggio la somma rimane costante.

$ n_{4009} = S_{2005} $
$ n_{4008} + n_{4007} = S_{2005} $
$ (n_{4006} + n_{4005}) + (n_{4004} + n_{4003}) = S_{2005} $

Quindi, a partire dall'ultimo numero scritto, si possono suddividere gli altri in gruppi di $ $2^{k-1} $ elementi la cui somma è $ S_{2005} $.
Il numero degli elementi dei primi $ $k $ gruppi è $ $2^0 + 2^1 + ... + 2^{k-2}+ 2^{k-1} = 2^k-1 $.
Poichè i numeri scritti sono 4009, $ $2^{k}-1 \leq 4009 $, cioè il gruppo più "numeroso" è l'undicesimo, formato da $ 2^{11-1}= 1024 $ elementi.

Dopo ogni passaggio, togliendo i primi due numeri e scrivendo la loro somma, ci sarà un numero in meno (senza contare quelli cancellati), quindi, affinchè ci sia un gruppo di 1024 numeri, bisogna fare $ 2005-1024=981 $ passaggi, cancellando i primi $ 981*2=1962 $ numeri.
Quindi la somma di tutti i numeri è data dalla somma dei numeri da 1 a 1962 e degli undici gruppi:
$ $S=S_{1962}+11*S_{2005}=\frac {1962*1963}{2}+11* \frac {2005*2006}{2}=1925703+22121165=24046868 $

E' più facile da fare che da spiegare...è giusto? :?

cromat
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Messaggio da cromat » 05 mar 2010, 23:27

invece io sarei più optato per 1925703 come risultato.
se provate a scriverli in fila i primi 2005 e sotto in una seconda fila le prime 1002 somme e cosi via a file; vi accorgete che la somma dei valori di ogni fila ha valori uguali alla prima = 2005*1003 (S). le file sono 12. ma ogni volta che una fila ha un numero di valori disparo devo sottrarre al totale l'ultimo valore di quella fila. Le file con un numero di valori dispari sono la 1,2,4 e 6:
il valore richiesto vale quindi: 12(2005*1003) - 2005 - 4007 - 15988 - 63312= 1925703
contorto da spiegare ma sono abbastanza sicuro del procedimento :lol:

feeeeee
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Messaggio da feeeeee » 09 mar 2010, 16:35

il valore richiesto vale quindi: 12(2005*1003) - 2005 - 4007 - 15988 - 63312= 1925703
a me sembra che faccia 24046868 :wink:
non mi è completamente chiara la tua spiegazione ma anch'io sono arrivata allo stesso risultato

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