domanda quiz (disequazione)

[karotto]

Sia x un numero razionale per cui vale la seguente proprietà

x<=y Per ogni y razionale maggiore di radical2

(<= vuol dire minore o uguale ... scusate se non so scrivere in LaTex)

Quale delle seguenti affermazioni è vera?:

A x=y
B x<radical2
C x è il più grande numero razionale minore di radical2
D x = radical2
E x è il più piccolo numero razionale maggiore di radical2

[jordan]

Sia $ x \in \mathbb{Q} $ tale che $ x \le y $ per ogni $ \sqrt{2}<y \in \mathbb{Q} $. Allora:
A) $ x=y $
B) $ x<\sqrt{2} $
C) $ x=\max\{t \in \mathbb{Q}:t<\sqrt{2}\} $
D) $ x=\sqrt{2} $
E)$ x=\min\{t \in \mathbb{Q}:t>\sqrt{2}\} $

[SkZ]

(<= vuol dire minore o uguale ... scusate se non so scrivere in LaTex)

sarebbe ora di impararlo

direi b
l'unica che ha senso e che sia comprensiva delle altre

[Ani-sama]

Utile per capire la definizione di estremo inferiore! La proprietà del nostro $ x $ si scrive così: $ x \in \mathbb Q \text{ e } x \leq y \quad \forall\, y \in \{z \in \mathbb Q : z > \sqrt 2 \} $. Ciò significa che $ x \in \mathbb Q $ e $ x $ è un minorante di quell'insieme. Dunque, poiché l'estremo inferiore è il massimo dei minoranti, si ha: $ x \leq \inf \{z \in \mathbb Q : z > \sqrt 2 \} $. Si può dimostrare che tale estremo inferiore è proprio $ \sqrt 2 $, dunque in definitiva $ x \in \mathbb Q $ e $ x \leq \sqrt 2 $, da cui necessariamente $ x < \sqrt 2 $ essendo $ \sqrt 2 \not\in \mathbb Q $.

[jordan]

@Ani-Sama e Skz, la prossima volta lasciatelo a qualcuno meno esperto!

[Ani-sama]

...però ho pensato: siccome è davvero così semplice (e intuitivo, in fondo), scrivo una soluzione precisissima, fin troppo, cosicché i "meno esperti" possano trarne beneficio. Forse penso troppo a come ero io ai tempi, ma posso dire che per arrivare a padroneggiare estremi superiori e inferiori ci ho messo un bel po' di tempo...

[SkZ]

o insomma: qui non posso perche' devo lasciarli ai meno esperti, in problem solving olimpico perche' sono troppo vecchio.
Posso solo spammare in birreria?
e poi ho dato una risposta molto vaga. Se uno si ferma li', non si sarebbe neppure applicato con cura.

manca ancora da dimostrare perche A, C e E non vanno bene (Anisama non l'ha detto bene)

[Ani-sama]

Allora diciamolo, così saremo didattici fino in fondo.

La A) è "mal scritta". Perché l'elemento $ y $ non è stato definito univocamente. Cioè, nessuno ha detto chi sia davvero quell'$ y $. D'altra parte, se interpretassimo «$ x=y $ per ogni $ y \in \{z \in \mathbb Q : z > \sqrt 2 \} $», avremmo una proposizione palesemente falsa (che so, dovrebbe essere $ x=5=7 $).

Sulla B) si è già detto, e anche sulla D), per quanto in effetti non sia così ovvio che $ \sqrt 2 \not\in \mathbb Q $.

Per quanto riguarda la D) e la E), il loro problema risiede nel fatto che $ \{t \in \mathbb Q : t < \sqrt 2\} $ e $ \{t \in \mathbb Q : t > \sqrt 2 \} $ non ammettono (rispettivamente) massimo e minimo. Perché? Cerchiamo di capirlo.

Per definizione il massimo di un insieme $ A \subseteq \mathbb R $ è un elemento $ M \in A $ tale che $ x \leq M $ per ogni $ x \in A $. Qualcuno, ora, potrebbe farmi notare che ho esordito con "IL" massimo e poi continuato con "UN" elemento. In effetti, sarebbe scorretto dire così se non fosse che il massimo di un insieme, se esiste, è unico. Il minimo di un insieme $ B \subseteq \mathbb R $ è definito nel modo analogo (esercizio, per chi vuole!) Attenzione: non è detto che un massimo o un minimo esista sempre! In questi due casi particolari, in effetti, non esiste. Per cercare di capire il motivo, proviamo a ragionare per assurdo. Se esistesse? Beh, se esistesse avremmo che tale massimo (minimo) sarebbe proprio $ \sqrt 2 $. Ma questo numero non appartiene all'insieme! Quindi, tenendo ben presente la definizione data, non può essere massimo (minimo).

E non ha certo senso parlare di qualcosa che non esiste, giusto?