Prima cifra di 2^{81}

Giochini matematici elementari ma non olimpici.
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jordan
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Prima cifra di 2^{81}

Messaggio da jordan » 08 set 2009, 05:35

Trovare (senza calcolatrice, computer e programmi vari) la prima cifra di $ 2^{81} $. 8)
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Il_Russo
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Messaggio da Il_Russo » 08 set 2009, 11:14

In binario è 1 8)

In decimale non è difficile, quindi lo lascio qui per adesso.
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Davide90
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Messaggio da Davide90 » 08 set 2009, 13:28

$ 2^{81} =2\cdot (1024)^8 =2\cdot (1000+24)^8 $
Nella parentesi, l'esponente più grande con cui compare 10 è $ 10^{24} $, mentre il secondo fattore è $ \binom{8}{1} \cdot 24 \cdot 10^{21} $ , quindi la parentesi è un numero le cui prime due cifre sono $ 11\dots $ . In conclusione, la prima cifra di $ 2^{81} $ è $ 2 $ , perchè moltiplicando per 2 non abbiamo nessun riporto.
"[L'universo] è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche; [...] senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto." Galileo Galilei, Il saggiatore, 1623
[tex] e^{i\theta}=\cos \theta +i \sin \theta[/tex]

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ndp15
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Messaggio da ndp15 » 09 set 2009, 13:40

Analizzo i residui delle potenze di 2 mod10 e concludo facilmente.

EDIT: non concludo niente, però lo faccio facilmente :P
Ultima modifica di ndp15 il 09 set 2009, 14:28, modificato 1 volta in totale.

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jordan
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Messaggio da jordan » 09 set 2009, 13:49

@ndp15: E che c'entrano i residui con la prima cifra? @Davide90, va bene. :wink:
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ndp15
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Messaggio da ndp15 » 09 set 2009, 14:27

jordan ha scritto:@ndp15: E che c'entrano i residui con la prima cifra?
Facciamo che io leggo i numeri a partire dal fondo cosi tutto torna :lol:
No dai, scusate per l'errore grossolano :roll:

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