OliForum Matematico

E' noto che più della metà della superficie terrestre è ricoperta dagli oceani (circa il 70%). Dedurne che esistono due punti antipodali entrambi sommersi dalle acque.

Tra il 40% e il 70% della superficie terrestre ha questa caratteristica.

pigeon hole?

non so...cosa useresti come piccioni?

quelli di povia

neghiamo la tesi. Ergo per ogni punto di mare c'e' un punto di terra
Ma non ho abbastanza punti di terra.
si potrebbe dire mare piccioni e terra i "buchi"
anche se non e' proprio corretto

Il problema è che i 'punti' sulla terra e sul mare sono infiniti quindi il principio della piccionaia non si può applicare (almeno non ai singoli punti). Io pensavo:

Chiamiamo $ $S$ $ la terra (che pensiamo come una sfera), $ $A$ $ la parte coperta dall'acqua e $ $B$ $ la parte emersa. Evidentemente $ $A$ $ e $ $B$ $ sono disgiunti e $ $S = A \cup B$ $ . Chiamiamo inoltre $ $-A$ $ l'insieme dei puni antipodali dei punti di $ $A$ $ . Se la tesi fosse falsa avremmo $ $-A \subset B$ $ , ma allora $ $m(B)$ < $m(A) = m(-A) \leq m(B)$ $ : assurdo. (m è la misura di superficie).

Però mi farebbe piacere sapere come ha fatto Tibor a dimostrare che i punti con la proprietà richiesta sono almeno il 40%...

Nel caso peggiore per ogni punto di terra ne prendi uno di acqua. Hai utilizzato il 30% della superficie (per la terra) ed un altro 30% per i corrispettivi punti d'acqua. Ti rimane il 40% di acqua con le caratteristiche richieste.
Nel caso migliore invece ad ogni punto di terra ne corrisponde uno di terra, e l'acqua e' sempre abbinata ad altra acqua. Ecco l'altro bound, il 70%.