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Giochini matematici elementari ma non olimpici.
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Enrico Leon
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Messaggio da Enrico Leon » 30 lug 2009, 17:20

Si trovi la somma di tutti i numeri di tre cifre formati soltanto da cifre dispari.

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jordan
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Messaggio da jordan » 30 lug 2009, 17:57

Enrico Leon ha scritto:Si trovi la somma di tutti i numeri di tre cifre formati soltanto da cifre dispari.
Problema: "Fissato $ n \in \mathbb{N}_0 $, si trovi la somma di tutti i numeri di $ n $ cifre formati soltanto da cifre dispari."

Definiamo $ S_n $ il numero cercato.
Il problema è ovviamente simmetrico per ogni cifra $ x \in \{1,3,5,7,9\} $.
Il problema resta ancora simmetrico considerando l'addendo di posto $ 10^i $ per ogni $ 0 \le i \le n-1 $.
Ogni numero di $ n $ cifre che ha esattamente $ 1 \le j \le n $ cifre pari a $ x $ abbiamo $ \displaystyle \binom{n-1}{j-1}4^{j-1} $ possibilità.

Per cui risulta: $ \displaystyle S_n:= [\sum_{i=0}^5{(2i-1)}][\sum_{i=0}^{n-1}{10^i}][\sum_{i=0}^{n-1}{\binom{n-1}{i}4^i}] $$ =\displaystyle 5^{n+1}\frac{10^n-1}{9} $.

In particolare $ S_3=625 \cdot 111 $.

Ps. Questa è combinatoria :roll:
Ultima modifica di jordan il 30 lug 2009, 21:36, modificato 1 volta in totale.
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Enrico Leon
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Messaggio da Enrico Leon » 30 lug 2009, 20:05

Ok, in realtà è 625*111 8)

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Tibor Gallai
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Messaggio da Tibor Gallai » 30 lug 2009, 23:00

Al solito non capisco quello che scrive Jordan :| , ma una semplicissima induzione sul numero di cifre funziona:

$ S_0 = 0 $

$ S_{n+1} = 10\cdot S_n\cdot 5 + (1+3+5+7+9)\cdot 5^n = 50\cdot S_n + 5^{n+2} $,

che volendo si esplicita in quello che avete già trovato.

In pratica, per ottenere i numeri con n+1 cifre, si prendono tutti quelli con n cifre (che sono $ 5^n $), si moltiplicano per 10, e ad ognuno si aggiunge 1, 3, 5, 7 o 9.
[quote="Pigkappa"]Penso che faresti un favore al mondo se aprissi un bel topic di bestemmie da qualche parte in modo che ti bannino subito.[/quote]

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jordan
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Messaggio da jordan » 01 ago 2009, 19:58

Si la tua idea è più facile..
la mia era solo di contare in colonna quante volte veniva ripetuta una cifra :)
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