Rotolando (own)

Giochini matematici elementari ma non olimpici.
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Thebear
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Rotolando (own)

Messaggio da Thebear » 28 lug 2009, 12:17

Una pallina (che per comodità possiamo considerare puntiforme ma non priva di massa) ha massa $ 100g $ e si trova nel punto $ A(-20;100) $. Inizia a rotolare giù per la curva $ \displaystyle y=-\frac{1}{100}x^3+20 $. Ad un certo punto, a causa del cambio di concavità, si stacca dalla curva e continua il suo moto di caduta, fino a quando raggiunge il suolo (asse $ x $). A quel punto avviene un urto totalmente elastico e la pallina rimbalza. In prossimità del punto in cui la pallina tocca il suolo si trova una semicirconferenza avente diametro sull'asse $ x $: determinare il massimo raggio che questa può avere affinchè la pallina la scavalchi completamente (cioè dopo il rimbalzo vada a toccare nuovamente l'asse $ x $ in un punto al di là della semicirconferenza) e la sua distanza minima dal punto di caduta.

PS1: tutte le misure sono da considerarsi espresse in metri
PS2: se il problema non ha senso (il che è possibile visto che l'ho ideato ma non risolto completamente) chiedo scusa e chiedo ai mod di cancellarlo... :roll:
PS3: se invece non si capisce perché faccio pena a spiegarmi, chiedo scusa lo stesso e cercherò di spiegarmi meglio... :lol:
PS4 (ok, adesso la smetto... :lol: ): spero che questa sia la sezione giusta...
Edoardo

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kn
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Re: Rotolando (own)

Messaggio da kn » 28 lug 2009, 14:07

Thebear ha scritto:In prossimità del punto in cui la pallina tocca il suolo si trova una semicirconferenza
A che distanza :?:
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FeddyStra
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Messaggio da FeddyStra » 28 lug 2009, 14:13

Credo che tu debba massimizzare il raggio e di conseguenza trovare a che distanza porla.
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]

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Messaggio da Thebear » 28 lug 2009, 16:14

FeddyStra ha scritto:Credo che tu debba massimizzare il raggio e di conseguenza trovare a che distanza porla.
Sì, esatto!
Edoardo

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Messaggio da FeddyStra » 28 lug 2009, 16:24

Impostare il problema non è difficile. Il fatto è che il punto di distacco e quello di impatto al suolo hanno coordinate che sono soluzione di orrende equazioni di quarto grado.
Se non ho sbagliato, il raggio della circonferenza dovrebbe essere qualcosa tipo 19.99999717429862, ma l'ubicazione del centro proprio non ho voglia di calcolarla ora!!
Approssimativamente il centro è posto a (160,0).
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
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Messaggio da Thebear » 28 lug 2009, 16:53

Mi fido, nel senso che non so quale sia il risultato. Più che altro mi interessa sapere il metodo che hai utilizzato (il mare di calcoli non ha proprio niente nè di ricreativo, nè di olimpico... :lol: ) e se si poteva fare senza derivate. Il mio dubbio iniziale era: quale cavolo è il coefficiente angolare della tangente nell'origine a una cubica "canonica"??? Zero??? Determinato questo (e fatto qualche altro ragionamento) dovrebbero essere solo calcolacci come dici tu... :wink:
Edoardo

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Messaggio da FeddyStra » 28 lug 2009, 20:15

La pallina non si stacca necessariamente quando attraversa l'asse y. La palllina si stacca nel punto in cui la forza di gravità non è in grado di fornire una componente perpendicolare al vettore velocità maggiore o uguale alla forza centripeta che consente di seguire la curvatura della funzione alla velocità di transito.
So che la frase è lunga e può apparire contorta, ma il senso è questo.
Con valutazioni energetiche trovi la velocità della pallina in caduta lungo la curva: $ \displaystyle\Delta U=mg(100-y)=\frac12mv^2\implies v=\sqrt{2g(100-y)}=\sqrt{2g\left(80+\frac1{100}x^3}\right)} $.
Dopo di che, calcoli la curvatura della funzione: $ \displaystyle C=\frac{y''}{(1+y'^2)^{3/2}}=-\frac{60000x}{\left(10000+9x^4\right)^{3/2}} $.
La forza centripeta necessaria per seguire la curva è $ \displaystyle f=\frac{v^2}{|R|}=v^2|C| $.
A questo punto ti calcoli la componente della forza pero normale alla funzione: $ \displaystyle P_\perp=mg\cos(\arccos y')=\frac{mg}{\sqrt{1+y'^2}}=\frac{mg}{\sqrt{\frac{9x^4}{10000}+1}} $.
Infine, trovi il punto in cui $ f=P_\perp $: quello è il punto di distacco. La velocità in quel punto la conosci, quindi ti puoi calcolare la traiettoria parabolica e, in particolare, il vertice della parabola dopo l'urto elastico.

PS: se $ S $ è quello che ho scritto sopra ed $ E $ è l'insieme degli errori di conto, devi fare $ S\pmod E $...
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
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Messaggio da Thebear » 29 lug 2009, 13:51

azz... non pensavo fosse così complesso... complimenti per la pazienza! :wink:

Comunque a quanto pare le derivate erano necessarie (e anche altre cose che non ho mai usato tipo la curvatura) :roll:
Edoardo

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