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Trovare un primo (l'unico) di quattro cifre $ ABCD $ tale che anche i numeri $ A,B,C,D,AB,CD $ siano primi.

Enrico Leon ha scritto:Trovare un primo (l'unico) di quattro cifre $ ABCD $ tale che anche i numeri $ A,B,C,D,AB,CD $ siano primi.

Sicuro del testo?

Ma le cifre ABCD sono tutte distinte???? Perchè se lo fossero non ci sarebbe soluzione...

Giuseppe R ha scritto:Ma le cifre ABCD sono tutte distinte???? Perchè se lo fossero non ci sarenne soluzione...

A be' giusto io intendevo fossero distinte, quindi mi sa che non è cosi

Possono anche ripetersi. Con considerazioni molto semplici si ottengono alla fine due soli numeri "candidati". Per non farvi impazzire vi dico che quello non primo è divisibile per 13.

Vediamo di riprenderci un po':
A,B,C,D possono assumere i valori di: 2,3,5,7.
B e D non possono mai essere 2 o 5. (*)
AB o CD non possono avere due cifre uguali (numero divisibile per 11). (**)

Caso 1:
A,B,C,D tutti diversi. Per quanto detto AB e CD saranno uguali a: 23-57 o 27-53 (o invertiti). Cio' è impossibile perchè almeno una coppia è divisibile per 3.


Caso 2:
Tre o più cifre tutte uguali. Si ha almeno una coppia con due cifre uguali, ma cio' è impossbile (**)

Caso 3:
Si avrà necessariamente che due cifre sono uguali, le altre due diverse (fra loro (**) e rispetto alle altre due cifre (altrimenti caso 2)) ; infatti numeri del tipo EFEF sono divisibili per EF.

Caso 3.1:
Le due cifre uguali sono due 2. Per quanto detto (*) gli unici numeri possibili sono: 2327 o 2723. Entrambi hanno una coppia divisibile per 3.

Caso 3.2:
Le due cifre uguali sono due 3. Le altre due cifre devono essere 2 e 5 altrimenti il numero a quattro cifre è divisibile per 3. Quindi numeri possibili: 2353 o 5323. Il primo non è primo, il secondo lo è.

Caso 3.3
Le due cifre uguali sono due 5. Non ci possono essere 2 per (*), quindi le altre due cifre sono 3,7. Numeri possibili: 5357 o 5753. Entrambi hanno una coppia divisibile per 3.

Caso 3.4
Le due cifre uguali sono due 7. Le altre due cifre non possono essere 2 e 5 altrimenti il numero a quattro cifre è divisibile per 3. Le altre due cifre sono quindi 2 e 3. La coppia che conterrà il 2 non puo' avere il 7 come altro numero (altrimenti coppia divisibile per 3), avrà quindi il 3 e cosi l'altra coppia sarà 77 ma cio' non è possibile.


L'unico numero con queste caratteristiche è quindi 5323

Io ho ragionato così:
Poiché le uniche cifre usabili sono $ 2,3,5,7 $ gli unici primi a due cifre costruibili sono $ 23,37,53,73 $. Ora, poiché i numeri del tipo $ MNMN $ e $ MNNM $ non sono mai primi (essendo divisibili per $ 101 $ e per $ 11 $ rispettivamente) e poiché la somma delle cifre del numero cercato non deve essere un multiplo di $ 3 $, si vede abbastanza facilmente che solo i numeri $ 2353 $ e $ 5323 $ potrebbero andare bene. E poi, vabbè, in qualche modo si controlla se effettivamente risolvono la questione...