Dimostrare che $ 120|n[n^{4}-36(5n^{2}-12^{2})] $ se e solo se $ 6|n $.
Ah quasi dimenticavo...per comodità poniamo $ n>12 $
Criterio di divisibilità per 120
Criterio di divisibilità per 120
"Il lemma fondamentale: se vi danno un esercizio è perchè potete farlo; se potete farlo è perchè è proprio facile; se è proprio facile è perchè servono delle cose che sapete; le cose che sapete sono pochissime, quindi avete da cercare in un insieme piccolissimo di cose" Michele Barsanti
[quote="julio14"]
jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in [tex]\mathbb{N}[/tex][/quote]
[quote="julio14"]
jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in [tex]\mathbb{N}[/tex][/quote]
- caprielelufic
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- Iscritto il: 11 lug 2009, 04:11
Re: Criterio di divisibilità per 120
iademarco ha scritto:Dimostrare che $ 120|n[n^{4}-36(5n^{2}-12^{2})] $ se e solo se $ 6|n $.
Ah quasi dimenticavo...per comodità poniamo $ n>12 $
Primo messaggio
$ n[n^{4}-36(5n^{2}-12^{2})]=n^5-180n^3-5184n $
120 deve dividere $ n^5-60n^3+12^2n $(*)
120=8*3*5
8 divide (*) quando divide
$ n^5+4n^3=n^3(n^2+4) $
se n è pari va bene, se n è dispari allora non va bene piu
3 deve dividere $ n^5 $ cioè n è un multiplo per forza di 3
5 deve dividere $ n^5+12^2n=n^5-n $ adesso per fermat 5 | $ n^5-n $ allora il 5 è inutile
Per il teorema cinese del resto abbiamo
2 divide n
3 divide n
5 divide (quello che gli pare)
allora tutti e soli gli n che dividono quella roba sopra sono gli n interi multipli di 2*3
ci ho azzeccato qualcosa?
Re: Criterio di divisibilità per 120
Direi proprio di sicaprielelufic ha scritto: ci ho azzeccato qualcosa?
"Il lemma fondamentale: se vi danno un esercizio è perchè potete farlo; se potete farlo è perchè è proprio facile; se è proprio facile è perchè servono delle cose che sapete; le cose che sapete sono pochissime, quindi avete da cercare in un insieme piccolissimo di cose" Michele Barsanti
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jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in [tex]\mathbb{N}[/tex][/quote]
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jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in [tex]\mathbb{N}[/tex][/quote]
oppure
Se n dispari $ ~p(n) $ e' dispari, ergo n pari
se $ ~3\nmid n $, allora $ ~3\nmid p(n) $, quindi n multiplo di 3
quindi, affinche' $ ~p(n) $ sia divisibile per 2 e 3, $ ~2^53^5|p(n) $
e si vede che e' sempre divisibile per 5 per ogni n.SkZ ha scritto:$ ~p(n)=n(n-6)(n+6)(n-12)(n+12)\equiv n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)\mod{5} $
Se n dispari $ ~p(n) $ e' dispari, ergo n pari
se $ ~3\nmid n $, allora $ ~3\nmid p(n) $, quindi n multiplo di 3
quindi, affinche' $ ~p(n) $ sia divisibile per 2 e 3, $ ~2^53^5|p(n) $
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membro: Club Nostalgici
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Yes, Yes.
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